Für diese senkrechten Achsenspiegelungen gilt: Zu jeder Geraden gibt es genau eine Achsenspiegelung, jede Achsenspiegelung ist eine teilverhältnistreue Kollineation, also eine Affinität, Fixpunkte der Achsenspiegelung sind genau die Punkte ihrer Achse, die Fixgeraden einer Achsenspiegelung sind genau die Spiegelachse und alle zu ihr senkrechten Geraden. Ebenenspiegelung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Rechtwinkliges Halbieren, Änderung der Simplexorientierung, Fixelemente (rot und blau) Diese weitere Art der Spiegelung kommt nur in der Raumgeometrie vor. Sie ist gegeben durch eine Ebene α, die Spiegelebene. Der Bildpunkt von P ist dadurch bestimmt, dass die Verbindungsstrecke zwischen ihm und seinem Bildpunkt P′ von der Spiegelebene rechtwinklig halbiert wird. Fixpunkte sind genau die Punkte der Spiegelebene. Fixgeraden sind die Geraden der Spiegelebene sowie die Geraden, die zu dieser orthogonal verlaufen. Spiegelung Punkt an Gerade. Fixebenen sind die Spiegelebene und die zu ihr orthogonalen Ebenen. Die Ebenenspiegelung verändert die Orientierung eines Simplex′.
Eingesetzt in die Geradengleichung erhalten wir die Koordinaten für S: $\vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$. Es ist also $S(4|2|0)$. Zuletzt spiegeln wir P an S und erhalten so P': $\overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{OP} + 2 \cdot \overrightarrow{PS} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$. Spiegelung Ebene an Ebene. Der gesuchte Bildpunkt P' hat also die Koordinaten $P'(2|1|3)$. Spiegelung einer Geraden an einer Geraden Hier gibt es drei verschiedene Fälle, die wir betrachten müssen. Einmal kann eine Gerade an einer Parallelen gespiegelt werden. Hierbei wählt man einen beliebigen Punkt auf der zu spiegelnden Gerade, führt die Spiegelung dieses Punktes wie oben durch und bildet die Spiegelgerade mit dem Bildpunkt und dem bereits gegebenen Richtungsvektor. Der Fall der Spiegelung an einer schneidenden Gerade ist ein bisschen ausführlicher.
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(Drei komplette Rechnungen durchführen, also drei Lotgeraden aufstellen, drei Lotfußpunkte bestimmen, drei Spiegelpunkte errechnen. ]) - Aus den drei erhaltenen Spiegelpunkten eine Parametergleichung der gesuchten Ebene aufstellen (gegebenenfalls noch in eine Koordinatengleichung umwandeln). Genug gespiegelt.
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