Und manche Funktionen lassen sich überhaupt nicht integrieren, sprich: Die Stammfunktion F(x) lässt sich nicht in geschlossener Form angeben. Wie hilfreich finden Sie diesen Artikel? Verwandte Artikel Redaktionstipp: Hilfreiche Videos 4:01 2:45 Wohlfühlen in der Schule Fachgebiete im Überblick
Quotientenregel Definition Die Quotientenregel als eine der Ableitungsregeln wird angewendet, wenn ein Bruch mit Funktionstermen im Zähler und Nenner abgeleitet werden soll. Beispiel Die Funktion sei $$f(x) = \frac{x^3}{(3x + 2)}$$ Die mit der Quotientenregel gebildete 1. Ableitung x im nenner x. Ableitung der Funktion ergibt ebenfalls einen Bruch; dabei ist der ("abgeleitete") Zähler: (Zähler abgeleitet mal Nenner) minus (Zähler mal Nenner abgeleitet) und der (abgeleitete) Nenner: Nenner quadriert. Für die obige Funktion: $$f '(x) = \frac{[3x^2 \cdot (3x + 2) - x^3 \cdot 3]}{(3x + 2)^2}$$ $$f '(x) = \frac{(9x^3 + 6x^2- 3x^3)}{(3x + 2)^2}$$ $$f '(x) = \frac{(6x^3 + 6x^2)}{(3x + 2)^2}$$ Die Quotientenregel allgemein als Formel: $$y = \frac{f(x)}{g(x)} \to y' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$$ Alternative Begriffe: Ableitung von Brüchen. Funktionsterme nur im Zähler oder Nenner des Bruchs Die Quotientenregel ist nur dann notwendig, wenn Funktionsterme mit x in Zähler und Nenner sind. x nur im Zähler Beispiel: x nur im Zähler $$f(x) = \frac{x^3}{3}$$ Das kann man auch so schreiben: $$f(x) = \frac{1}{3} \cdot x^3$$ Und mit der Faktorregel ableiten: $$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2$$ x nur im Nenner Beispiel: x nur im Nenner $$f(x) = \frac{1}{(x + 2)}$$ $$f(x) = (x + 2)^{-1}$$ Und mit der Ableitung einer Potenzfunktion: $$f'(x) = -1 \cdot (x + 2)^{-2} = - \frac{1}{(x + 2)^2}$$
2. Merkregel ⇒ "AZN minus ANZ" Eine weitere Merkregel für den Zähler ist die Kurzform "AZN minus ZAN": Ableitung des Z ählers ("AZ") mal Nenner ("N") minus Ableitung des Nenners ("AN2) mal Z ähler ("Z") Vorgehensweise: u ( x) und v ( x) bestimmen u '( x) und v '( x) bilden- jeweils die Ableitungen! in Formel für f '( x) einsetzen ausmultiplizieren und vereinfachen Beispiel ⇒ Also ist unsere erste Ableitung 1! Ableitung und stammfunktion von f(x)=e^x+e^x? (Schule, Mathe, Mathematik). Beispiel 2
Der Hauptnenner ist $(4x + 2)^3$; also wird der erste Bruch mit $4x + 2$ erweitert: $f'(x) = \dfrac{2x\cdot (4x+2)}{(4x + 2)^{3}}+\dfrac{(x^2-3)\cdot (\color{#a61}{-8})}{(4x + 2)^{3}}$ Jetzt löst man im Zähler die Klammern auf und fasst zusammen: $f'(x) = \dfrac{8x^2+4x-8x^2+24}{(4x + 2)^{3}} = \dfrac{4x+24}{(4x + 2)^{3}}$ Man erspart sich mit diesem Weg die Quotientenregel, muss aber die Summanden auf den Hauptnenner bringen. Kombinationen der verschiedenen Ableitungsregeln | Nachhilfe von Tatjana Karrer. Da der Vorgang sehr schematisch verläuft, stellt dies keinen ernstzunehmenden Nachteil dar. Beispiel 6: $f(x)=\dfrac{4x+3}{\operatorname{e}^{2x}}$ Dies ist der Fall, bei dem sich die Umformung auf jeden Fall lohnt. $f(x) = (4x + 3)\operatorname{e}^{-2x}$ Nun wird nach der Produkt- und Kettenregel abgeleitet: $f'(x) = 4\cdot \operatorname{e}^{-2x}+(4x+3)\cdot \operatorname{e}^{-2x}\cdot (-2)$ Wie bei der Exponentialfunktion üblich wird ausgeklammert: $\begin{align*}f'(x)&=\left[4 + (4x +3)\cdot (-2)\right]\operatorname{e}^{-2x}\\ &=(4 - 8x - 6)\operatorname{e}^{-2x}\\ &= (-8x-2)\operatorname{e}^{-2x}\end{align*}$ Letzte Aktualisierung: 02.