In diesem Kapitel dreht sich alles um Wachstum und Zerfall. Es gehört zum Fach Mathe und dort in den Bereich Analysis. Was sind Wachstum und Zerfall? Wachstum und Zerfall begegnen uns im Alltag in verschiedensten Formen. Die Bevölkerung wächst, Bakterienkulturen wachsen, Bierschaum zerfällt, aber auch das Wasser in der Badewanne läuft ab. Diese Vorgänge können durch Funktionen dargestellt werden, bei denen meistens die Zeit eine entscheidende Rolle spielt. Genauer: je nachdem, wie viel Zeit vergangen ist, gibt es in einer Bakterienkultur mehr oder weniger Bakterien. Oder je nachdem, wie lange ich den Stöpsel in der Badewanne schon gezogen habe, ist noch mehr oder weniger Wasser in der Wanne. Da man genau weiß, wie viele Bakterien pro Zeiteinheit entstehen, oder wie viel Wasser pro Minute aus der Badewanne abläuft, kann man mit solchen Funktionen genau berechnen, wann z. B. ein gewünschter Wert erreicht wird. Wachstums- und Zerfallsprozesse - Abitur-Vorbereitung. Das Thema Wachstum und Zerfall hat also auch einen hohen Anwendungsbezug und ist daher für einige Branchen von hoher Bedeutung.
Exponentialfunktion Exponentialfunktionen sind Funktionen mit einer festen Basis a (die positiv und ungleich 1 ist) und einem variablen Exponenten x \(f\left( x \right) = {a^x}\) mit \(a \in {{\Bbb R}^ +}\) \(f'\left( x \right) = {a^x} \cdot \ln a\) wobei: \(\eqalign{ & f\left( {x + 1} \right) = a \cdot f\left( x \right) \cr & a = \dfrac{{f\left( {x + 1} \right)}}{{f\left( x \right)}} \cr}\) a ist die Basis, die Variable x ist der Exponent alle Funktionswerte sind positiv: f(x)>0 Graph - die Exponentialkurve - verläuft durch \(P(0\left| 1 \right. ){\text{ und}}Q(1\left| a \right. )\) Die x-Achse bildet die Asymptote der Exponentialfunktion Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen und kein Symmetrieverhalten. für die Basis a, die ein Maß für die relative Zu-/Abnahme ist, gilt: 1-a entspricht der relativen Zu- bzw. Abnahme pro Zeitintervall z. B. Wachstums- und zerfallsprozesse mathe. : a=0, 9917 → 1-0, 9917=0, 0083→ Abnahme um 0, 83% z. : Einer Abnahme um 8% pro Zeitintervall entspricht eine Abnahme auf 92%. Daher muss a=0, 92 sein a<0: Die Exponentialfunktion ist für negative a nicht definiert, so ist \(f\left( x \right) = {\left( { - 1, 3} \right)^x}\) keine Exponentialfunktion 01: Exponentielle Zunahme: Der Graph verläuft streng monoton steigend.
Diese Konvention hat vor allem Vorteile bei der Berechnung der Halbwerts- und Verdoppelungszeit. Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4. 0. → Was bedeutet das?
Definiere linearen Zerfall. Linearer Zerfall ist ein Abnahmevorgang und liegt vor, wenn die Ausgangsbestand in immer gleichen Zeitabständen um eine konstante Zahl sinkt.
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