Bis jetzt haben wir mit Hilfe der Integralrechnung Flächen zwischen einem Graphen und der x-Achse und Flächen zwischen Funktionsgraphen berechnet. In diesem Beitrag zeige ich zuerst ein Beispiel aus der Praxis. Wir können mit Integralen zum Beispiel die mittlere Flughöhe eines Fussballs im Bereich zwischen 7 m und 16 m nach dem Abschuss berechnen. Danach erkläre ich, wie man das Integral als Mittelwert von f(x) im Intervall [a; b] berechnet. Anschließend versuche ich d en Ansatz über das bestimmte Integral. Zuletzt demonstriere ich die Berechnung der Beispielaufgabe. Flughöhe eines Fussballs Zuerst legen wir für diesen Bereich eine Wertetabelle an: Das Integral als Mittelwert von f(x) im Intervall [a; b] Der Ball hätte somit im Intervall [ 7; 16] eine mittlere Flughöhe von 2, 512 m. Würde man in groberen oder feineren Schritten vorgehen, so bekäme man für den jeweiligen Mittelwert andere Ergebnisse. Mittelwert integral berechnen e. Bei den x – Werten 7; 10; 13; 16 käme für den Mittelwert 2, 34 m heraus. Bei den x – Werten 7; 7, 5; 8; 8, 5; ….. käme für den Mittelwert 2, 555 m heraus.
Nur ist der rote Verlauf nicht sinusförmig. Offensichtlich sind die Flächen unterhalb der Verläufe nicht gleich groß. Wären dies Verläufe der Leistung über der Zeit am Fön an der Steckdose, würde der Fön beim blauen Verlauf ordentlich heiß werden, beim roten nur lauwarm. Für den roten Verlauf müssten wir den Effektivwert aus dem Integral bestimmen, denn die Funktion ist kein Sinus. Weiter
Statt der x-Achse haben wir nun die t-Achse und ist eine Funktion in Abhängigkeit von der Zeit t. Außerdem nehmen wir statt a und b ab sofort und als Integrationsgrenzen. Das Integral entspricht dann der Fläche zwischen dem Graph der Funktion und der t-Achse vom Zeitpunkt bis zum Zeitpunkt. Integralrechnung in der Praxis • 123mathe. Diese Fläche entspricht wiederum der Strecke, die vom Zeitpunkt bis zum Zeitpunkt zurückgelegt wurde. Um die innerhalb der Zeitspanne von bis zurückgelegte Strecke zu ermitteln, muss also das Integral berechnet werden. Die Zeit-Geschwindigkeits-Funktion ist dabei natürlich gegeben. Strecke, die durch einen Körper innerhalb der Zeitspanne von bis zurückgelegt wurde: Warum das so ist, kann man sich am leichtesten erklären am Beispiel einer Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit. Gehen wir beispielsweise von einem Auto aus, dass konstant mit geradeaus fährt. t steht nun für die Zeit in Sekunden ab Versuchsbeginn und v ( t) für die Geschwindigkeit in zum jeweiligen Zeitpunkt t. Page 1 of 7 « Previous 1 2 3 4 5 6 7 Next »
Die Fläche unterhalb der Zeitachse und die oberhalb heben sich bei der Summenbildung des Integrals gegenseitig auf. Sie sind gleich groß, weisen aber ein unterschiedliches Vorzeichen auf. Das zeigt der folgende Zeitverlauf der Spannung: Der Mittelwert ist für symmetrische Wechselgrößen 0. Er hat für bestimmte Wechselgrößen eine andere Bedeutung: Ist eine Kurve auf der y-Achse verschoben, gibt der Mittelwert an, um welchen Wert die Kurve verschoben ist. Derartige Verläufe von Spannung und Strom betrachten wir aber noch nicht in den Grundlagen der Elektrotechnik. Mittelwert und Effektivwert – Lerninhalte und Abschlussarbeiten. Die folgende Abbildung zeigt einen nach oben verschobenen Spannungsverlauf. Der Mittelwert gibt die Verschiebung mathematisch an. Wir brauchen für den "Gehalt" der Sinusfunktion ein Maß, in dem beide Flächenanteile positiv berücksichtigt werden. Wenn die Funktion zunächst quadriert wird, dann aufsummiert und anschließend die Wurzel gezogen wird, dann erhalten wir ein Maß für die Fläche beider Anteile. Durch das Quadrieren wird der negative Flächenanteil positiv.
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