Vielleicht ist dir im Mathe Unterricht mal der Spruch "Spitze minus Fuß" zu hören gekommen, dieser findet nämlich bei der Bestimmung des Richtungsvektors seine Anwendung. Mehr dazu im folgenden Abschnitt. Die Formel zur Berechnung Möchtest du den Richtungsvektor im zweidimensionalen Raum, sprich von zwei Punkten, berechnen gilt: Im n - dimensionalen Raum mit den Punkten gilt: Allgemein gilt: O gibt den Koordinatenursprung an. bezeichnet den Ortsvektor des Koordinatenursprungs zum Punkt A an und den Ortsvektor des Koordinatenursprungs zum Punkt B. Grafische Darstellung des Richtungsvektor Die folgende Grafik zeigt dir, wie du dir den Verbindungsvektor im Koordinatensystem vorstellen kannst: Schauen wir uns ein Beispiel an, dann verstehst du das Ganze sicher noch besser! Beispielaufgabe 1 zur Bestimmung des Verbindungsvektors Aufgabe: Berechne den Vektor, dessen Spitze im Punkt A(3|-1) ist und dessen Fuß im Punkt B(2|3) liegt. Lösung: Um den Richtungsvektor zu erhalten, setzen wir die Punkte in die oben beschriebene Formel ein: Beispielaufgabe 2 zur Bestimmung des Verbindungsvektors Aufgabe: Berechne den Vektor, dessen Fuß im Punkt A(3|2|4) ist und dessen Spitze im Punkt B(2|1|2) liegt.
Lösung: Um den Richtungsvektor zu erhalten, setzen wir die Punkte in die oben beschriebene Formel für den n-dimensionalen Raum ein: Richtungsvektor bestimmen - Alles Wichtige auf einen Blick Der Richtungsvektor bzw. Verbindungsvektor ist der Vektor, der zwei Punkte miteinander verbindet. Diesen kannst du mit zwei gegebenen Punkten sehr leicht berechnen. Erinnere dich dazu an den Spruch "Spitze minus Fuß". Unsere Empfehlung für euch Es ist wichtig darauf zu achten, welcher Punkt der Fuß-Punkt ist und welcher der Spitze-Punkt ist. Behalte dir immer den Spruch "Spitze minus Fuß" im Hinterkopf. Falls du die Spitze und den Fuß vertauscht, erhältst du ein falsches Ergebnis.
Gleiche Zeichen geben plus, ungleiche Zeichen geben minus: Vorzeichen Rechenzeichen gibt + + + + - - - + - - - + Verwechslungsgefahr Achtung, verwechseln Sie das nicht mit einer Aufgabe wie zum Beispiel "plus fünf minus drei". Denn hier kommen Vorzeichen und Rechenzeichen nicht direkt zusammen. Es gibt also nicht minus zwei. Ausführlich geschrieben: Wenn man mit den Vorzeichen bei der 3 nicht gespart hätte, stünden +5 minus +3. Hier darf man nach der Regel ein Vorzeichen mit einem Rechenzeichen zusammenfassen. Und man erhält fünf minus drei gleich plus zwei. Das Pluszeichen vor Zahlen spart man sich gerne, dies bedeutet, wenn nichts vor der Zahl steht, handelt es sich immer um eine positive Zahl.
Beachte: der Fußpunkt der Vektoren muss dabei gleich sein, in unserem Beispiel A A! Schritt 2: Aufstellen der Determinante Nun setzt du die beiden Vektoren A B → \color{#006400}\overrightarrow{AB} und A C → \color{#ff6600}\overrightarrow{AC} in die Determinante ein. oder auch Beachte die Reihenfolge der Vektoren: der erste Vektor ist der erste gegen den Uhrzeigersinn (mathematischer Drehsinn; siehe Skizze)! Wenn die Koordinaten mit konkreten Werten angegeben sind, dann ist die Reihenfolge nicht wichtig, solange man einen Betrag um die Determinante setzt. Wichtig ist es aber dann, wenn man einen Flächeninhalt in Abhängigkeit von x x berechnen soll! Tipp: ohne 1 2 \frac{1}{2} vor der Determinante berechnest du den Flächeninhalt des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms. Schritt 3: Berechnung des Werts der Determinante Nun musst du nur noch den Wert der Determinante, und damit den Flächeninhalt des Dreiecks, nach der Formel berechnen: oder auch Video Inhalt wird geladen… Dreiecksfläche durch Ergänzen zum Rechteck berechnen Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.
Ein Vektor v ⃗ = ( x y z) \vec{v}=\begin{pmatrix} x \\ y \\z\end{pmatrix} gibt eine Richtung an. x x steht für die Anzahl Einheiten in x 1 x_1 -Richtung, y y in x 2 x_2 -Richtung und z z in x 3 x_3 -Richtung. Ein Vektor hat im Gegensatz zu einem Punkt keinen festgelegten Ort. Will man allerdings einen Punkt als Vektor darstellen, verwendet man den Verbindungsvektor vom Ursprung zum Punkt. Diesen Vektor nennt man Ortsvektor. Beispiel Der Vektor b ⃗ \vec{b} zeigt 2 2 Einheiten in x 1 x_1 -Richtung, 3 3 in x 2 x_2 -Richtung und 5 5 in x 3 x_3 -Richtung. Also lautet der Vektor: Vektor von Punkt zu Punkt Um den Vektor zwischen zwei Punkten zu berechnen, musst du "Spitze" minus "Fuß" rechnen: Der Vektor von A A nach B B ist dann A B → = B ⃗ − A ⃗ = ( x B − x A y B − y A z B − z A) \overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix} Der Vektor B A → \overrightarrow{BA} von B nach A berechnet sich dementsprechend genau umgekehrt. Er zeigt damit auch genau in die entgegengesetzte Richtung.
Gibt es da wohl Unterschiede, das es bei allen Vektoren anders ist als bei einzelnen?? Sorry für diese sehr lange Frage, hatte in diesem Thema von vorneherein Schwierigkeiten, und versuche gerade, alles durchzugehen und es so gut wie möglich zu verstehen, was aber irgendwie nicht gerade gelingt. Zur Info, die grundlegenden Fragen sind mit einem Bindestrich Markiert. Bin dankbar um jede Antwort! :D
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