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Betrachtet man nun die Einschränkung von auf den Spann (die lineare Hülle), dann ist injektiv und. Somit ist ein Isomorphismus zwischen und dem Bild von. Daher gilt. Der Homomorphiesatz folgt ebenfalls – durch Übergang vom Komplementärraum zum Faktorraum. Text von bild kopieren. Umkehrung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Der Satz gilt für Vektorräume beliebiger (auch unendlicher) Dimension. Im endlichdimensionalen Fall lässt sich die Dimension des Bildraums aus der Dimension des Kerns als berechnen. Entsprechend umgekehrt gilt dann auch. Im unendlichdimensionalen Fall lässt sich mittels des Rangsatzes die Dimension des Bildraums nicht aus der Dimension des Kerns (oder umgekehrt) berechnen, wenn der Kern dieselbe Dimension wie der gesamte Raum besitzt. Andernfalls ist die Dimension des Bildraums gleich der Dimension von. Verallgemeinerung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Eine weitreichende Verallgemeinerung des Rangsatzes ist die Aussage, dass die alternierende Summe der Dimensionen der einzelnen Komponenten eines Kettenkomplexes gleich der alternierenden Summe der Dimensionen seiner Homologiegruppen ist.
Als weitere Bezeichnungsweise kommt gelegentlich vor. [4] [5] Für ist auch die englische Bezeichnung ("im" vom englischen Wort image) gebräuchlich. Beispiele [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Wir betrachten die Funktion ( ganze Zahlen) mit. Hierbei werden verschiedene Eingabemengen nicht unbedingt auf verschiedene Bildmengen geschickt: Insgesamt ist die Menge der Quadratzahlen das Bild der Funktion: Eigenschaften [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Es sei eine Funktion und und seien Teilmengen von: ist genau dann surjektiv, wenn. Ist injektiv, dann gilt hier ebenfalls die Gleichheit. Die Aussagen über Vereinigung und Durchschnitt lassen sich von zwei Teilmengen auf beliebige nichtleere Familien von Teilmengen verallgemeinern. [6] Siehe auch [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Bild (Kategorientheorie) Homomorphiesatz Kern (Algebra) Urbild (Mathematik) Einzelnachweise [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] ↑ a b Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8., überarbeitete Auflage. Prinzessin Madeleine von Schweden. B.
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