Aus einem Funktionsplot kann man immer nur Aussagen über den abgebildeten Ausschnitt des Koordinatensystems ablesen, z. B. für den Bereich 1 ≤ x ≤ 3. Ob der Graph einer Funktion aber z. bei noch einmal einen "Schlenker" macht oder nicht, darüber kann nur auf der Grundlage einer Kurvendiskussion eine zuverlässige Aussage getroffen werden. genauer hinzusehen: ein augenscheinliches lokales Minimum kann sich – bei entsprechender Vergrößerung – als ein lokales Maximum herausstellen. Vergleichen wir einmal die beiden Plots der Funktion f(x)=2∙(x-2) 4 -0, 01⋅(x-2) 2 +2 in nebenstehenden Abbildungen 1 bzw. Kurvendiskussion Überblick: einfach erklärt - simpleclub. 2. Eine Kurvendiskussion deckt solche Phänomene stets auf, ob sie sich im Molekülbereich oder in astronomischen Dimensionen abspielen: weil eine Kurvendiskussion nicht – wie ein Funktionsplot – von der Auflösung abhängt. Zudem lässt sich eine Kurvendiskussion auch ganz ähnlich bei Funktionen durchführen, die von vielen Variablen abhängen (also z. von x 1; x 2; x 3 anstelle von nur x). Eine Visualisierung einer derartigen Funktion in 2D oder 3D ist nicht mehr möglich.
Für eine vollständige Kurvenuntersuchung werden zumindest die ersten drei Ableitungen der zu betrachtenden Funktion benötigt. Es bietet sich also an, diese zum Beginn alle aufzustellen.
× Nachricht Cache gelöscht (7. 77 KB) Funktionen analysieren Unter "Funktionsanalyse" bzw. "Kurvendiskussion" in der Differenzialrechnung wollen wir die Untersuchung der Graphen von Funktionen auf deren geometrische Eigenschaften, wie zum Beispiel Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte, gegebenenfalls Sattel- und Flachpunkte, Asymptoten, Verhalten im Unendlichen (Globalverhalten) u. a. m. verstehen. Krümmungsverhalten | Mathebibel. Diese Informationen erlauben es uns, eine Skizze des Graphen anzufertigen, aus der all diese für die Funktion charakteristischen Eigenschaften unmittelbar ablesbar sind. Heute ist es nicht mehr das Ziel einer Kurvendiskussion, den Menschen dabei zu unterstützen, eine möglichst genaue Zeichnung des Graphen der Funktion zu produzieren: das kann inzwischen jeder Funktionsplotter (etwa ein grafikfähiger Taschenrechner, ein Smartphone mit entsprechender Software, ein Tabellenkalkulationsprogramm oder Computeralgebra-Software) besser. Ziel der Kurvendiskussion ist vielmehr, die Koordinaten der charakteristischen Punkte eines Graphen exakt zu bestimmen (aus einem Funktionsplot lassen sich lediglich ungefähre Werte ablesen); charakteristische Eigenschaften wie Symmetrie oder Verhalten im Unendlichen zu beweisen.
Beispiel 3 $$ f(x) = x^2 $$ $$ f'(x) = 2x $$ $$ f''(x) = 2 > 0 $$ Der Graph der Funktion $f(x) = x^2$ ist linksgekrümmt (konvex). Ableitung ist immer größer Null. Sonderfall: Funktion, die links- und rechtsgekrümmt ist Beispiel 4 $$ f(x) = x^3 - x^2 $$ $$ f'(x) = 3x^2 - 2x $$ $$ f''(x) = 6x - 2 $$ Wenn in der 2. Ableitung der Funktion ein $x$ vorkommt, handelt es sich in der Regel um eine Funktion, die linksgekrümmte und rechtsgekrümmte Bereiche hat. Diese Bereiche oder Intervalle lassen sich berechnen, indem man überlegt, wo die 2. Ableitung kleiner (größer) Null ist. Wann ist die 2. Monotonie, Krümmung bei Funktionen, Übersicht mit Ableitungsgraphen | Mathe by Daniel Jung - YouTube. Ableitung kleiner Null? $$ \text{Ansatz:} 6x - 2 < 0 $$ Die obige Ungleichung müssen wir jetzt nach $x$ auflösen. $$ \begin{align*} 6x - 2 &< 0 &&|\, +2 \\[5px] 6x &< 2 &&|\, :6 \\[5px] x &< \frac{2}{6} \\[5px] x &< \frac{1}{3} \end{align*} $$ Daraus folgt: $$ \text{Für} \quad x < \frac{1}{3} \quad \text{ist die Funktion rechtsgekrümmt. } $$ Wann ist die 2. Ableitung größer Null? $$ \text{Ansatz:} 6x - 2 > 0 $$ Die obige Ungleichung müssen wir jetzt nach $x$ auflösen.
Funktion ohne Krümmung Betrachten wir zunächst die Funkiton \(f(x)=x\) Es handelt sich hierbei um eine Lineare-Funktion. Wir können die zweite Ableitung der Funktion berechnen: \(\begin{aligned} f(x)&=x\\ \\ f'(x)&=1\\ f''(x)&=0 \end{aligned}\) Die zweite Ableitung einer Funktion gibt uns an ob eine Funktion gekrümmt ist. In dem Fall ist die zweite Ableitung gleich Null. Daraus können wir schließen, dass die Lineare-Funktion keine Krümmung besitzt. Krümmung einer Parabel In diesem Abschnitt möchten wir das Krümmungsverhalten einer Parabel untersuchen. Wir werden feststellen, das Parabeln sowohl eine Linkskrümmung als auch eine Rechtskrümmung besitzten können. Linkskrümmung \(f(x)=x^2\) Um Aussagen über das Krümmungsverhalten zu Treffen, müssen wir die zweite Ableitung berechnen: f(x)&=x^2\\ f'(x)&=2x\\ f''(x)&=2 In diesen Fall ist die zweite Ableitung ungleich Null, damit besitzt diese Funktion eine Krümmung. Zudem ist die zweite Ableitung größer als Null, wir haben es also mit einer Linkskrümmung zu tun.
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