Empirische Verteilungsfunktion Definition Die empirische Verteilungsfunktion – z. B. F(x) – gibt den kumulierten Anteil an, mit der ein Merkmal eine Ausprägung bzw. einen Wert <= x annimmt. Diese kumulierte absolute oder relative Häufigkeit kann ggfs. bereits der Häufigkeitstabelle entnommen werden. Typische Fragestellungen wären: Wie viele Arbeitnehmer eines Unternehmens sind maximal 30 Jahre alt? (für ein metrisches Merkmal wie das Alter). Wie viele Mensabesucher bewerten das Essen zumindest mit "gut"? (bei einer Ordinalskala z. mit den Werten "sehr gut", "gut", "geht so" und "schlecht"). Die Aufstellung einer empirischen Verteilungsfunktion setzt zumindest ordinalskalierte Daten voraus (nominalskalierte Merkmalsausprägungen wie "blond" und "rot" für die Haarfarbe können nicht sinnvoll kumuliert / aufaddiert werden). In einem Ort gibt es 10 Kinder im Alter von 3, 5, 5, 7, 7, 8, 9, 9, 9 und 14 Jahren. Die empirische Verteilungsfunktion für das Merkmal Alter wäre dann: F(x) = 0, 0 für x < 3 (d. h. Empirsche Dichte/Verteilungsfunktion. es gibt keine Kinder unter 3 Jahren) = 0, 1 für 3 <= x < 5 = 0, 3 für 5 <= x < 7 = 0, 5 für 7 <= x < 8 = 0, 6 für 8 <= x < 9 = 0, 9 für 9 <= x < 14 = 1, 0 für 14 <= x.
Damit ist die punktweise Konvergenz der empirischen Verteilungsfunktion gegen die wahre Verteilungsfunktion gegeben. Ein weiteres, stärkeres Resultat, der Satz von Glivenko-Cantelli sagt aus, dass dies sogar gleichmäßig geschieht:. Diese Eigenschaft ist die mathematische Begründung dafür, dass es überhaupt sinnvoll ist, Daten mit einer empirischen Verteilungsfunktion zu beschreiben. Empirische Verteilungsfunktion – Wikipedia. Ogive (Verteilungsfunktion) einer theoretischen und einer empirischen bezeichnete ursprünglich das gotische Bau-Stilelement Spitzbogen sowie die verstärkten Rippen in den Gewölben. Der Ausdruck wurde in der Statistik für eine Verteilungsfunktion erstmals 1875 von Francis Galton verwendet: "When the objects are marshalled in the order of their magnitude along a level base at equal distances apart, a line drawn freely through the tops of the form a curve of double curvature... Such a curve is called, in the phraseology of architects, an 'ogive'. " – Francis Galton: Aus Statistics by intercomparison with remarks on the Law of Frequency of Error., Philosophical Magazine 49, S. 35 Auf der horizontalen Achse des Koordinatensystems werden hier die geordneten (oft gruppierten) Merkmalsausprägungen aufgetragen; auf der vertikalen Achse die relativen kumulierten Häufigkeiten in Prozent.
Definition [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Es bezeichne die Abrundungsfunktion. Sie rundet jede Zahl auf die nächste kleinere ganze Zahl ab. Es gilt also beispielsweise und. Gegeben sei eine Stichprobe der Größe, deren Elemente der Größe nach geordnet sind. Dies bedeutet, es gilt. Dann heißt für eine Zahl das empirische -Quantil von. [1] Es existieren einige von der hier angegebenen Definition abweichende Definitionen. [2] Beispiel [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die folgende Stichprobe besteht aus zehn zufälligen ganzen Zahlen (gezogen aus den Zahlen zwischen null und hundert, versehen mit der diskreten Gleichverteilung): Sortieren liefert die Stichprobe. Es ist. Für erhält man. Da dies ganzzahlig ist, erhält man über die Definition Für erhält man. Die Abrundungsfunktion liefert dann und damit. Analog erhält man für direkt und damit, also ist. Das empirische Quantil ist im Gegensatz zum arithmetischen Mittel robust gegenüber Ausreißern. Dies bedeutet, dass wenn man Werte einer Stichprobe oberhalb (oder unterhalb) eines bestimmten Quantils durch einen Wert oberhalb (oder unterhalb) des Quantils ersetzt, sich das Quantil selbst nicht verändert.
Das ist die Wahrscheinlichkeit, mit der höchstens ein Wert von a auftritt; die gelbe und grüne Fläche gemeinsam stellen den Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle b dar. Ihre Differenz, die grüne Fläche, gibt Dir die Wahrscheinlichkeit an, mit der Du eine Realisation der Zufallsvariablen zwischen a und b beobachten kannst.
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