Beispiel 3: Beim zweimaligen Werfen eines nichtgezinkten Tetraeders werde jeweils das Augenprodukt, d. h. das Produkt der beiden geworfenen Augenzahlen, notiert. Welches Augenprodukt ist dann zu erwarten? Erwartungswert von X^2. Lösungsvariante 1 (nach Satz 3): Es ist X ≙ ( 1 2 3 4 1 4 1 4 1 4 1 4) ⇒ E X = 2, 5 u n d Z = X ⋅ X (wobei X und X stochastisch unabhängig sind). Dann gilt: E Z = E ( X ⋅ X) = E X ⋅ E X = 2, 5 ⋅ 2, 5 = 6, 25 Lösungsvariante 2 (nach Definition): Z ≙ ( 1 2 3 4 6 8 9 12 16 1 16 2 16 2 16 3 16 2 16 2 16 1 16 2 16 1 16) E Z = 1 ⋅ 1 16 + 2 ⋅ 2 16 + 3 ⋅ 2 16 + 4 ⋅ 3 16 + 6 ⋅ 1 16 + 8 ⋅ 2 16 + 9 ⋅ 1 16 + 12 ⋅ 2 16 + 16 ⋅ 4 16 = 6, 25 Lösungsvariante 3 (mittels Simulation): Vorgegangen wird wieder wie in Lösungsvariante 3 des 1. Beispiels. Die Simulation für n = 200 ergibt E Z = 6, 18.
Insbesondere ist: E ( X) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ x f ( x, y) d x d y \operatorname{E}(X)=\int\limits_{-\infty}^\infty \int\limits_{-\infty}^\infty x f(x, y)dxdy\, Beispiele Würfeln Das Experiment sei ein Würfelwurf. Als Zufallsvariable X X betrachten wir die gewürfelte Augenzahl, wobei jede der Zahlen 1 bis 6 mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 1/6 gewürfelt wird. E ( X) = ∑ i = 1 6 i ⋅ 1 6 = 3, 5 \operatorname{E}(X)=\sum\limits_{i=1}^6 i\cdot \dfrac{1}{6} = 3{, }5 Wenn man beispielsweise 1000 Mal würfelt, d. das Zufallsexperiment 1000 mal wiederholt, die geworfenen Augenzahlen zusammenzählt und durch 1000 dividiert, ergibt sich mit hoher Wahrscheinlichkeit ein Wert in der Nähe von 3, 5. Es ist jedoch unmöglich, diesen Wert mit einem einzigen Würfelwurf zu erzielen. Erwartungswert von x 2 dvd. St. Petersburger Spiel Das sogenannte St. Petersburger Spiel ist ein Spiel mit unendlichem Erwartungswert: Man werfe eine Münze, zeigt sie Kopf, erhält man 2€, zeigt sie Zahl, darf man nochmals werfen. Wirft man nun Kopf, erhält man 4€, wirft man wieder Zahl, so darf man ein drittes mal werfen, usw.
Ist der Parameter, dann wird ein System mit einer mit der Zeit ansteigenden Ausfallrate, also ein alterndes System, beschrieben. Besitzt eine Exponentialverteilung mit Parameter, dann besitzt die Zufallsvariable eine Weibull-Verteilung. Zum Beweis betrachte man die Verteilungsfunktion von:. Das ist die Verteilungsfunktion einer Weibull-Verteilung. Gestreckte Exponentialfunktion [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die Funktion wird als gestreckte Exponentialfunktion bezeichnet. Siehe auch [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Mortalität Extremwerttheorie Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Bernard W. Lindgren: Statistical Theory. Chapman & Hall, New York u. E x 2 erwartungswert. a. 1993, ISBN 0-412-04181-2. Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1970. Joachim Hartung, Bärbel Elpelt, Karl-Heinz Klösener: Statistik. Oldenbourg, München 2002, ISBN 3-486-25905-9. Horst Rinne, Hans-Joachim Mittag: Statistische Methoden der Qualitätssicherung.
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