Aufgabe: Erstellen Sie ein Hasse-Diagramm der Relation \( \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \lesssim\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right) \quad: \Leftrightarrow \quad x_{1} \leq y_{1} \wedge x_{2} \leq y_{2} \wedge x_{3} \leq y_{3} \) auf der Menge \( \{0, 1\}^{3} \) und geben Sie alle maximalen und minimalen Elemente sowie alle oberen und unteren Schranken der folgenden Mengen bezüglich dieser Relation an. (a) \( \{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1)\} \) (b) \( \{(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)\} \) Ansatz/Problem: Ich habe schon mal ein Hasse-Diagramm angefertigt aber nur mit einer Teilbarkeitsrelation. Daher überfordert mich diese Aufgabe ein wenig.
Wir können einen Nachfolger b von a irgendwo oberhalb von a eintragen und zwei verschiedene Nachfolger auf unterschiedlicher Höhe platzieren. Ein Hasse-Diagramm ist damit nicht eindeutig bestimmt. Die Art und Weise der Anordnung der Elemente von A kann zu Diagrammen mit unterschiedlicher Aussagekraft führen. (2) Statt der Wachstumsrichtung "von unten nach oben" können natürlich auch andere Orientierungen wie "von links nach rechts" verwendet werden. Da eine Wachstumsrichtung vorgegeben ist, genügen Linien. Es stört aber auch nicht, Pfeile zu verwenden. (3) Für unendliche Mengen ist eine Visualisierung schwieriger. Manchmal lassen sich Hasse-Diagramme "mit Pünktchen" erstellen, oft sind aber auch ganz andere Ansätze nötig. Bekannte Beispiele sind die Zahlengeraden für ℤ, ℚ oder ℝ. Hasse-Diagramme der Inklusion auf ℘ ({ 1, 2, 3}) (links) und ℘ ({ 1, 2, 3, 4}) (rechts) Hasse-Diagramm der Inklusion auf ℘ ({ 1, 2, 3, 4, 5}) Hasse-Diagramme der Teilbarkeitsrelation auf { 1, …, 20} und { 1, …, 32} Hasse-Diagramm der Teilbarkeitsrelation auf { 1, …, 127} (von links nach rechts)
Aufgabe: Ich soll ein Hasse Diagramm erstellen, wobei folgende Ordnungsrealtion folgendermaßen definiert ist: = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (f, f), (g, g), (e, b), (e, g), (b, d), (g, d), (b, a), (d, c), (g, f), (a, c), (f, c), (e, a), (e, d), (e, f), (e, c), (b, c), (g, c)} Problem/Ansatz: Wie gehe ich dabei vor? Muss ich ganz unten so anfangen? : a b c d e f g a b c d e f g Ich finde, dass dies sehr unübersichtlich ist, wenn ich so anfange. Gibt es einen anderen Weg?
Das Diagramm heißt in diesem Falle auch Teilerbild. Das folgende Bild zeigt das Hasse-Diagramm der Teiler von 60. Partitionen Die Menge der Partitionen der Menge {1, 2, 3, 4} mit der Feinheit als Halbordnung. Potenzmenge Die -elementige Potenzmenge einer -elementigen Menge mit der Mengeninklusion lässt sich als Hasse-Diagramm darstellen. Dabei bilden die Elemente der Potenzmenge die Knoten und zwei Elemente sind durch eine Kante verbunden, wenn sie in einer Teilmengenrelation stehen. Die durch den untersten Knoten dargestellte leere Menge ist eine Teilmenge aller Elemente; das durch den obersten Knoten dargestellte Universum ist eine Obermenge aller Elemente. Besonders übersichtlich und verbreitet ist die Anordnung der Mengen, die gleich viele Elemente enthalten, in derselben Ebene des Hasse-Diagramms. Ebenso ist es üblich und empfehlenswert, die Mengen in den Ebenen von links nach rechts lexikographisch zu ordnen. Ein kleines Beispiel für ein Hasse-Diagramm einer Potenzmenge liefert die Menge: Ein etwas aufwändigeres Diagramm erhält man mit der sechzehnelementigen Potenzmenge einer vierelementigen Menge.
Nehmen Sie im Gegenteil $ b $. Wenn $ x \ leqslant b $, dann ist $ x = b $;Im Hasse-Diagramm befindet sich nichts unter $ b $ (oder $ c $). Sie sind die minimalen Elemente und werden auf derselben "Ebene" gezeichnet. Damit bleibt nur $ a $ übrig, das sowohl über $ c $ als auch unter $ f $ liegt. wir haben $ c \ leqslant a \ leqslant f $. Versuchen Sie, hier etwas herauszufinden. Im Folgenden werde ich einige weitere Hinweise auflisten, die überprüfen sollten, ob Sie Recht haben oder nicht (aber schauen Sie erst, wenn Sie es versuchen! ). Das Hasse-Diagramm hier wird getrennt. Ein Stück ist nur eine gerade "Linie" für $ c \ leqslant a \ leqslant f $ (mit $ c $ unten). Das andere Stück wird eine Art V-Form sein, mit $ b $ unten und $ e, d $ oben.