Und durch dieses Prinzip können wir nun mit Hilfe des Differenzquotienten die Ableitung am Punkt A bestimmen. Nehmen wir uns mal die Formel für diesen her: $$ \lim_{h\to 0} = \frac { f(x_0+h) -f(x)}{ h}$$ wobei h ja wieder diese unendlich kleine Differenz ist. deshalb hab ich ganz am Anfang lim (h->0) geschrieben. Das bedeutet h strebt gegen Null, und lim bedeutet Limes (also Grenzwert). Diese Formel ist wie folgt entstanden. Erstmal definieren wir uns Delta y und Delta x: $$ Δx:= x_1-x_0 $$ $$ Δy:= f(x_1)-f(x_0) $$ Die Steigung der Sekante ist also: $$ \frac { Δy}{ Δx} = \frac { f(x_1) -f(x_0)}{ x_1 - x_0}$$ Wir definieren und setzt ein neues h und ein neues x mit $$ x = x_0 +h \\ h = x_1 - x_0 $$ Das setzen wir entsprechend ein und erhalten: $$ \lim_{h\to0} = \frac { f(x_0+h) -f(x)}{ h}$$ Dies ist der sogenannte Differenzquotient. H methode einfach erklärt en. Jetzt brauchen wir unsere Funktion: f(x) = x². Also ist unsere Ableitung: $$ f'(x) = \lim_{h\to0} \frac { (x+h)^2 -x^2}{ h} \\ = \lim_{h\to0} \frac { x^2 +2hx +h^2-x^2}{ h} \\ = \lim_{h\to0} \frac { 2hx +h^2}{ h} \\ = lim(h->0): (2x+h) \\ = \lim_{h\to0} 2x $$ Wir haben ja gesagt, h strebt gegen Null.
Schließlich habe ich noch h gekürzt, denn mal h durch h hebt sich auf (weil es gegensätzliche Rechenoperationen sind). Zum Schluss habe ich für h Null eingesetzt. Wie gesagt, h ist eigentlich nicht genau Null. Aber diese Abweichung ist so schwindend gering, dass man dies vernachlässigen kann. Deshalb ist deine Ableitung von f(x) = x² einfach f'(x) = 2x. Ich könnte dir das dahinter stehende Rechengesetz auch beweisen, aber das würde an dieser Stelll zu weit führen. H methode einfach erklärt images. Um jetzt die Steigung zu bestimmen, setzt du einfach nur den x-Wert von A in diese Gleichung ein, und die Steigung im Punkt A ist also 2x = 2 * 1 = 2. Ich hoffe der Tipp hat einigen geholfen:)
Nach rechts gehst du (x+h) - x = h ( x + h) − x = h (x+h) - x = h und nach oben f(x+h) - f(x) f ( x + h) − f ( x) f(x+h) - f(x) Die Steigung ist dann der Quotient dieser Differenzen \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} f ( x + h) − f ( x) h \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} und heißt deswegen Differenzenquotient. Steigungsdreieck einzeichnen Differentialquotient Eine Gerade, die nur einen Punkt eines Graphen schneidet, nennt sich Tangente. Die Tangente erhältst du aus einer Sekante, wenn die beiden Punkte sehr dicht beieinander liegen. Das kannst du dir am besten so vorstellen: Du beginnst mit zwei Punkten auf dem Graphen und zeichnest die Sekante ein. Die Steigung der Sekante kannst du mit dem Differenzenquotienten ausrechnen. (siehe oben). Differenzenquotient / Differentialquotient einfach erklärt - simpleclub. Jetzt verschiebst du schrittweise den rechten Punkt auf dem Graphen in Richtung des linken. Der Abstand der beiden Punkte wird immer kleiner - also fast null. Du bildest den Grenzwert. Die Punkte verschmelzen fast miteinander. Deswegen sagt man auch, dass die Gerade nur durch einen Punkt verläuft - nämlich dem linken.
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