Unter der partiellen Ableitung versteht man, dass eine Funktion nach einer bestimmten Variablen abgeleitet wird. Gibt es z. B. in einer Funktion ein x und ein y, dann kann man entweder nach x ableiten oder nach y. Das wären die beiden möglichen partiellen Ableitungen. Bei der ersten Ableitung, wird die Funktion nach der jeweiligen unbekannten abgeleitet. Geschrieben wird dies bei einer Funktion z, welche so gegeben ist, folgendermaßen: Dieses komisch aussehende d bedeutet partielle Ableitung, dabei steht das z für die Funktion und das untere (z. x) für die Unbekannte, nach der abgeleitet werden soll. Hier ein Beispiel: Diese Funktion wird zunächst nach x partiell abgeleitet. Also leitet ihr ganz normal, wie ihr es kennt nach x ab und tut so, als wäre y einfach irgendeine Zahl. So erhaltet ihr folgendes Ergebnis: Nun wird z nach y partiell abgeleitet. Also tut diesmal so, als wäre x irgendeine Zahl und leitet gewöhnlich nach y ab. Ihr erhaltet dann: Bei der zweiten Ableitung gibt es mehr Fälle.
Als Ergebnis erhält man die partielle Ableitung der Funktion nach dieser einen Variablen. Beispiel 2 [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Da die partielle Ableitung nach einer Variablen der gewöhnlichen Ableitung bei festgehaltenen Werten aller anderen Variablen entspricht, können für die Berechnung alle Ableitungsregeln wie bei Funktionen einer Variablen verwendet werden. Ist beispielsweise, so folgt mit Produkt- und Kettenregel: und. Beispiel 3 [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] In der obigen Animation sieht man den Graphen der Funktion. Legt man einen Punkt aus dem Definitionsbereich fest, so kann man den Graphen der Funktion mit einer senkrechten Ebene in x-Richtung schneiden. Der Schnitt des Graphen mit der Ebene erzeugt einen klassischen Graphen aus der eindimensionalen Analysis. Partielle Ableitungen können so auch anschaulich auf die klassische eindimensionale Analysis zurückgeführt werden., Partielle und totale Ableitung nach der Zeit [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] In der Physik (vor allem in der theoretischen Mechanik) tritt häufig die folgende Situation auf: Eine Größe hängt durch eine total differenzierbare Funktion von den Ortskoordinaten,, und von der Zeit ab.
Eine Funktion f: R n → R f:\Rn\to\R sei in einer Umgebung des Punktes x 0 ∈ R n x^0\in\Rn definiert. Dann heißt f f in x 0 x^0 partiell differenzierbar nach x k x_k, wenn der Grenzwert des Differentialquotienten lim x k → x k 0 f ( x 1 0, …, x k − 1 0, x k, x k + 1 0, …, x n 0) − f ( x 1 0, …, x k − 1 0, x k 0, x k + 1 0, …, x n 0) x k − x k 0 \lim_{x_k\to x_k^0}\dfrac {f(x_1^0, \dots, x_{k-1}^0, x_k, x_{k+1}^0, \dots, x_n^0)-f(x_1^0, \dots, x_{k-1}^0, x_k^0, x_{k+1}^0, \dots, x_n^0)}{x_k-x_k^0} existiert. Dieser Grenzwert heißt die partielle Ableitung von f f nach x k x_k im Punkt x 0 x^0 und wird mit ∂ f ∂ x k ( x 1 0, …, x n 0) \dfrac {\partial f} {\partial x_k} (x_1^0, \dots, x_n^0) oder f x k ( x 1 0, …, x n 0) f_{x_k} (x_1^0, \dots, x_n^0) bezeichnet. Die Funktion f f heißt in E ⊆ D ( f) E\subseteq D(f) differenzierbar, wenn die partiellen Ableitungen nach allen Variablen x k x_k für alle x ∈ E x\in E existieren. Die Funktion f f heißt stetig differenzierbar in einem Punkt x 0 x^0, falls es eine Umgebung um x 0 x^0 gibt, in der f f differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen ∂ f ∂ x k \dfrac {\partial f} {\partial x_k} ( k = 1, …, n k=1, \dots, n) stetige Funktionen von x k x_k sind.
Die Hauptsache ist, dass du eine Variable als Konstante behandelst. Bei der partiellen Ableitung müssen alle allgemeinen Ableitungsregeln beachtet werden. Es gilt also unter anderem die Summenregel, die Quotientenregel, die Produktregel sowie die Kettenregel. Bei der partiellen Ableitung wird nach einer Variablen abgeleitet. Die andere wird dabei behandelt wie eine Konstante. Es gelten bei der partiellen Ableitung alle allgemeinen Ableitungsregeln. Partielle Ableitungen höherer Ordnung Das obige Beispiel für eine partielle Ableitung war eine partielle Ableitung erster Ordnung. Im Zusammenhang mit partiellen Ableitungen spricht man nämlich von der Ableitung 1. Ordnung, wenn nur einmal abgeleitet wurde. Falls die Funktion zweimal abgeleitet wurde, spricht man von einer Ableitung 2. Ordnung. Eine Ableitung 3. Ordnung ist dann eine dreimal abgeleitete Funktion und so weiter. Für die partielle Ableitung höherer Ordnung gilt demnach das selbe Prinzip. Wird die partielle Ableitung 1. Ordnung nochmal nach x oder nach y abgeleitet, so wird von der partiellen Ableitung 2.
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