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Neu!! : Satz von Cantor und Surjektive Funktion · Mehr sehen » Teilmenge Mengendiagramm: ''A'' ist eine (echte) Teilmenge von ''B''. Die mathematischen Begriffe Teilmenge und Obermenge beschreiben eine Beziehung zwischen zwei Mengen. Neu!! : Satz von Cantor und Teilmenge · Mehr sehen »
Enzyklopädie Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie Der Satz von Cantor besagt, dass eine Menge weniger mächtig als ihre Potenzmenge (der Menge aller Teilmengen) ist, dass also gilt. Er stammt vom Mathematiker Georg Cantor und ist eine Verallgemeinerung von Cantors zweitem Diagonalargument. Der Satz ist in allen Modellen gültig, die das Aussonderungsaxiom erfüllen. Bemerkung: Der Satz gilt für alle Mengen, insbesondere auch für die leere Menge, denn ist einelementig. Allgemein gilt für endliche Mengen, dass die Potenzmenge einer -elementigen Menge Elemente hat. Da stets, ist der Satz von Cantor für endliche Mengen klar, er gilt aber eben auch für unendliche Mengen. Beweis Offensichtlich gilt, da eine injektive Abbildung ist. Wir wollen nun zeigen, dass es keine surjektive Abbildung geben kann. Um einen Widerspruch zu erhalten, nehmen wir an, dass es doch eine surjektive Abbildung gibt. Wir definieren nun. Aufgrund des Aussonderungsaxioms ist eine Menge und somit. Wegen der Annahme, dass surjektiv ist, gibt es ein mit.
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Ok, ich habe es jetzt glaube ich halbwegs verstanden. Das Problem ist, dass math. Beweise oft sehr verkürzt sind und viele Hintergrundannahmen weglassen, so dass ein Laie (ohne Einarbeitung) quasi keine Chance hat. Ich versuch's mal: 1. Gegeben sei die Menge X mit den Elementen x und die Potenzmenge P(X) mit allen Teilmengen von X. 2. Allen x von X kann nur und genau die entsprechende Teilmenge {x} von P(X) zugeordnet werden (Injektion). 3. Wenn wir geistig hier kurz innehalten, dann gibt es also wg. 2. kein Element x in X mehr, welches nicht einem Element von P(X) zugeordnet ist. 4. Jetzt konstruieren wir eine Menge B: {x:elem: X | x aus X ist keinem Element in P(X) zugeordnet}. Diese Menge ist in jedem Fall Element von P(X), weil sie entweder leer ist und die leere Menge ist immer Element der Potenzmenge oder es ein x_B von X gibt und dann wäre B die entsprechend zuordbare Teilmenge in P(X). 5a(Pippen). Es gilt nun: Entweder es gibt kein solches x_B, dann ist B die leere Menge, Element von P(X) und da alle x aus X bereits "verbraten" sind (2.
& 3. ) kann in X kein Element mehr sein, welches zu B von P(X) zugeordnet werden kann. Damit wäre gezeigt, dass es ein Element in P(X) gibt, welches keinem Element von X zugeordnet werden kann und damit wäre P(X) mächtiger als X. Oder es gibt ein solches Element x_B. Dann entsteht sofort ein Widerspruuch, denn es gäbe dann ein Element in X, welches Element von B wäre und damit zu B in P(X) zugeordnet werden kann, welches wegen der Definition von B aber doch nicht zugeordnet sein könnte und welches es auch wg. 3. nicht geben kann, denn in X sind ja schon alle x "verbraten". Damit gilt Erstgenanntes und die Mächtigkeit P(X) > X wäre bewiesen. So würde ich es denken und formulieren. 5b(Cantor). Cantor geht einen etwas anderen Weg: Er nimmt einfach an, es gäbe ein x_B, weil er auch einfach annimmt, dass X und P(X) bijektiv sind, d. h. B wäre keine leere Menge, sondern eine Teilmenge von X mit dem Element x_B (von X). Es gibt nun 2 Möglichkeiten: Entweder x_B:elem: B. Dann wäre es wegen deren Definition aber keinem Element in P(X) zugeordnet, was der gerade aufgezeigte Bijektionsannahme widerspräche.