Schnittpunkt zweier Geraden berechnen Wie du den Schnittpunkt zweier Geraden im dreidimensionalen Raum bestimmst. Schnittgerade zweier Ebenen bestimmen Wie du die Schnittgerade zweier Ebenen bestimmst, von denen eine in Parameterform und eine in Koordinatenform vorliegt. Zum Video & Lösungscoach
Testen: Liegt der Punkt ( 2 | 5 | 2) auf g: x= ( 1) +r ( 2) 3 0 4 6? Vektorgleichung: ( 2) = ( 1) +r ( 2) 5 3 0 2 4 6 Das liefert das folgende Gleichungssystem: 2 = 1 +2r 5 = 3 2 = 4 +6r Das Gleichungssystem löst man so: -2r = -1 0 = -2 -6r = 2 ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. ) -2r = -1 0 = -2 0 = 5 ( das -3-fache der ersten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert) dritte Zeile: 0r = 5 Nicht möglich, da 0 mal irgendwas immer 0 und nie 5 ist. Also liegt der Punkt nicht darauf. Die Geraden haben einen Punkt nicht gemeinsam. Also sind sie nicht identisch, also parallel. Wie rechnet man nach, dass zwei Geraden identisch sind? Schnittgerade zweier Ebenen bestimmen - Touchdown Mathe. Aufgabe: Schnittpunkte finden von g: x= ( 1) +r ( 6) 3 0 2 9 und g: x= ( 3) +r ( 8) 3 0 5 12 Die Richtungsvektoren sind linear abhängig: 1, 33⋅ = Also sind die Geraden entweder identisch oder parallel. Testen: Liegt der Punkt ( 3 | 3 | 5) auf g: x= ( 1) +r ( 6) 3 0 2 9? Vektorgleichung: ( 3) = ( 1) +r ( 6) 3 3 0 5 2 9 Das liefert das folgende Gleichungssystem: 3 = 1 +6r 3 = 3 5 = 2 +9r So formt man das Gleichungssystem um: -6r = -2 0 = 0 -9r = -3 ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )
Das Gleichungssystem wird nicht aufgehen, siehe Beispiel. Aufgabe: Schnittpunkte finden von g: x= ( 2) +r ( 1) 3 0 1 3 und E: x= ( 3) +r ( 2) +s ( 3) 4 0 0 1 1 4 Vektorgleichung (bedenke, Parameter umzubenennen... ): ( 2) +r ( 1) = ( 3) +s ( 2) +t ( 3) 3 0 4 0 0 1 3 1 1 4 Das liefert das folgende Gleichungssystem: 2 +r = 3 +2s +3t 3 = 4 1 +3r = 1 +s +4t Das Gleichungssystem löst man so: r -2s -3t = 1 0 = 1 3r -1s -4t = 0 ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. ) r -2s -3t = 1 0 = 1 5s +5t = -3 ( das -3-fache der ersten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert) r -2s -3t = 1 5s +5t = -3 0 = 1 ( die dritte Zeile wurde mit der zweiten Zeile vertauscht) dritte Zeile: 0t = 1 Nicht möglich, da 0 mal irgendwas immer 0 und nie 1 ist. Also gibt es keine Schnittpunkte. Die Gerade ist parallel zu der Ebene. Wie sieht man, dass die Gerade in der Ebene liegt? Das Gleichungssystem hat viele Lösungen und eine Variable ist frei wählbar. Beispiel: Aufgabe: Schnittpunkte finden von g: x= ( 3) +r ( 1) 2 7 4 3 und E: x= ( 4) +r ( 2) +s ( -1) 9 6 1 7 1 2 Vektorgleichung (bedenke, Parameter umzubenennen... ): ( 3) +r ( 1) = ( 4) +s ( 2) +t ( -1) 2 7 9 6 1 4 3 7 1 2 Das liefert das folgende Gleichungssystem: 3 +r = 4 +2s -1t 2 +7r = 9 +6s +t 4 +3r = 7 +s +2t So formt man das Gleichungssystem um: r -2s +t = 1 7r -6s -1t = 7 3r -1s -2t = 3 ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )