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Dabei muss das ursprüngliche Polynom entstehen: f( x) = ( x + 1) ( x + 3) = x 2 + 3x + 1x + 3 = x 2 + 4x + 3 Beispiel: Linearfaktorzerlegung mit Vorfaktor im Video zur Stelle im Video springen (03:20) Hat eine Funktion einen Vorfaktor (Zahl) vor x 2 bzw. dem höchsten Polynom, dann muss dieser auch in der Linearfaktordarstellung vorangestellt werden. Beispiel: In diesem Beispiel haben wir einen Vorfaktor 2. KB.12 Beispiel Linearfaktorzerlegung, komplexe Zahlen. Den merkst du dir, da du ihn später für die Linearfaktordarstellung brauchst. f( x) = 2 x 2 + 3x + 1 Den Vorfaktor von, nämlich 2, klammert du aus.
es gibt keine ganzzahlige Nst! vielleicht ist das Polynom falsch? oder du sollst numerisch rechnen? (wolfram α findet die nst schnell! (ich auch nicht) Gruß leduart 20:25 Uhr, 17. 2015 Vielen Dank für die Antwort! Glaube kaum das das Polynom falsch ist, es stamt aus dem alten Übungsblatt das ich gerade durchgehe als Vorbereitung auf die Prüfung. Die Nullstelle funktioniert wenn ich sie einsetze und auch Wolfram α nennt 2 i und - 2 i als Nullstelle. Die einzige Fehlerquelle die ich jetzt noch sehe ist das Wolfram α auch eine reelle Nullstelle liefert: 1, die habe ich erstmal nicht ausprobiert da es in der Aufgabenstellung hieß man soll über C (dem Zahlenraum) in Linearfaktoren zerlegen. Faktorisierung von Polynomen -- Rechner. Ich werde jetzt aber mal die Nullstelle ausprobieren nachdem du meintest - 2 i und 2 i sind schlichtweg falsch (was ja auch durchaus Sinn macht);-) Liebe Grüße abakus 20:32 Uhr, 17. 2015 Hallo, 1 ist keine Nullstelle, wie dir eine Probe schnell zeigt. Übrigens: reelle Zahlen gehören AUCH zu den komplexen Zahlen.
Damit ist gezeigt, dass sich in den reellen Zahlen jedes Polynom in ein Produkt aus linearen und quadratischen Faktoren zerlegen lässt. Zum Beispiel hat das Polynom die reelle Nullstelle und die konjugiert komplexen Nullstellen. In den reellen Zahlen lautet seine Faktorisierung. Linearfaktorzerlegung komplexe zahlen rechner. Rationale und ganzzahlige Polynome [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Für Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten existieren verschiedene Irreduzibilitätskriterien, wie zum Beispiel das Eisensteinkriterium, um festzustellen, ob sie in irreduzibel sind. Die Bestimmung der rationalen Nullstellen eines Polynoms lässt sich algorithmisch in endlich vielen Schritten lösen, denn für jede Nullstelle gilt, dass ein Teiler von und ein Teiler von ist (siehe Satz über rationale Nullstellen). Beispielsweise findet man bei dem Polynom durch Ausprobieren aller Möglichkeiten die rationale Nullstelle. Polynomdivision ergibt und das Polynom ist nach dem Eisensteinkriterium (mit der Primzahl 2) irreduzibel, so dass sich schließlich die ganzzahlige Faktorisierung ergibt.
Allgemein gilt: Hat ein Polynom eine Nullstelle, so ist es ohne Rest durch teilbar, das heißt, es gilt mit einem Polynom, dessen Grad um eins kleiner ist und das z. B. durch Polynomdivision oder mit dem Horner-Schema berechnet werden kann. Hat nun wieder eine Nullstelle, dann lässt sich diese wiederum als Linearfaktor abspalten. Da in den komplexen Zahlen nach dem Fundamentalsatz der Algebra ein nichtkonstantes Polynom stets eine Nullstelle besitzt, führt bei komplexer Rechnung dieses Vorgehen schließlich zu einer Faktorisierung durch Zerlegung in Linearfaktoren. Reelle Polynome [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Ein reelles Polynom hat dagegen nicht immer eine reelle Nullstelle. Komplexe Linearfaktorzerlegung und die reelle Zerlegung | Mathelounge. Es lässt sich jedoch als komplexes Polynom mit reellen Koeffizienten auffassen. Als solches zerfällt es in Linearfaktoren und besitzt zusätzlich die Eigenschaft, dass mit jeder Nullstelle auch die konjugiert komplexe Zahl eine Nullstelle ist. Die beiden zugehörigen Linearfaktoren lassen sich zu dem reellen quadratischen Polynom zusammenfassen.
Beispiele Polynom n-ten Grades hat n n Nullstellen: Das Polynom 2 x 2 − 4 x − 6 2x^2-4x-6 von oben hat den Grad 2 2 und zwei Nullstellen, und zwar − 1 -1 und 3 3. Das Polynom x 2 − 2 x + 1 x^2-2x+1 hat den Grad 2 2 und eine doppelte Nullstelle, und zwar die Zahl 1 1. Polynom n-ten Grades hat weniger als n n Nullstellen: Das Polynom x 3 − 2 x 2 + 3 x − 6 x^3-2x^2+3x-6 von oben hat den Grad 3 und nur eine Nullstelle, und zwar die Zahl 2 2. n n Nullstellen Wenn f f ein Polynom n-ten Grades mit n n Nullstellen ist und mehrfache Nullstellen auch mehrfach gezählt werden, dann gibt es eine Linearfaktorzerlegung von f f. f f lässt sich also umformen zu mit N 1, …, N n N_1, \dots, N_n als Nullstellen des Polynoms (wobei auch mehrere Nullstellen gleich sein können). Beispiele 1. f ( x) = 3 x 3 − 3 x f(x)=3x^3 - 3x Linearfaktordarstellung: 2. f ( x) = x 3 − 2 x 2 f(x) = x^3 - 2x^2 Linearfaktordarstellung: 3. f ( x) = 2 x 3 f(x) = 2x^3 Linearfaktordarstellung: Weniger als n n Nullstellen Im Allgemeinen kann man über den reellen Zahlen aber nicht davon ausgehen, dass ein Polynom seinem Grad entsprechend viele Nullstellen besitzt (z.