Die Gesamtlänge des Auslegers beträgt somit:. Jeder zusätzliche Stein entspricht einem weiteren Summanden in der harmonischen Reihe. Da die harmonische Reihe beliebig große Werte annehmen kann, wenn man sie nur weit genug fortführt, gibt es keine prinzipielle Grenze, wie weit der oberste Stein überhängen kann. Die Zahl der nötigen Steine steigt allerdings sehr rasch mit dem angestrebten Überhang. Für einen Überhang in 2, 5-facher Steinlänge werden etwa 100 Steine benötigt werden. Die 8 reine margot. Bei einem realen Aufbau würde dies bereits hohe Anforderungen an die Maßhaltigkeit der Steine stellen. Weitere Beispiele für die Anwendung der harmonischen Reihe sind das Sammler-Problem und das Problem der 100 Gefangenen. Verwandte Reihen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die Partialsummen der alternierenden harmonischen Reihe Die alternierende harmonische Reihe konvergiert: Die Konvergenz folgt aus dem Leibnizkriterium, der Grenzwert lässt sich mit der Taylor-Entwicklung des natürlichen Logarithmus und dem abelschen Grenzwertsatz berechnen.
Es ist nämlich und wenn man setzt, erhält man in der Reihenentwicklung die alternierende harmonische Reihe. Als allgemeine harmonische Reihe bezeichnet man sie divergiert für und konvergiert für (siehe Cauchysches Verdichtungskriterium). Deren n -te Partialsummen werden auch als oder bezeichnet. Beispiel für (siehe Basler Problem): Beispiel für: wobei die -te Bernoulli-Zahl bezeichnet. Die 8 planeten in der reihenfolge. Lässt man für auch komplexe Zahlen zu, gelangt man zur riemannschen Zetafunktion. Subharmonische Reihen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Subharmonische Reihen entstehen dadurch, dass man bestimmte Summanden bei der Reihenbildung der harmonischen Reihe weglässt, etwa nur die Kehrwerte aller Primzahlen summiert: Diese Summe divergiert ebenfalls ( Satz von Euler). Eine konvergente Reihe entsteht, wenn man nur noch über die Primzahlzwillinge (oder gar Primzahldrillinge oder Primzahlvierlinge usw. ) summiert; allerdings ist nicht bekannt, ob es sich dabei um unendliche Reihen handelt. Die Grenzwerte werden Brunsche Konstanten genannt.
[wieder] gesund werden. 2. [wieder] in Ordnung kommen. ) zeitlich geregeltes Nacheinander eines bestimmten Vorgangs, Ablaufs Grammatik ohne Plural Beispiel sich streng an die Reihe halten die Reihe ist an jemandem (jemand ist der Nächste, der abgefertigt o. Ä. wird) an der Reihe sein (1. derjenige sein, der jetzt abgefertigt o. Ä. wird. jetzt behandelt werden: Tagesordnungspunkt 8 ist an der Reihe. ) an die Reihe kommen (1. der, die Nächste sein. als Nächstes behandelt werden. ) aus der Reihe sein/kommen (umgangssprachlich: verwirrt, konfus sein/werden: sei still, sonst komme ich ganz aus der Reihe! ) außer der Reihe (1. als Ausnahme zwischendurch: er wurde außer der Reihe behandelt. landschaftlich; außergewöhnlich. 8. Staffel - Der Bergdoktor - Offizieller Fanclub zur beliebten ZDF-Reihe. )
Satz Herbert Eimert: Intervallproportionen (Streichquartett, 1. Satz) Heft 3: musikalisches Handwerk (1957) [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Herbert Eimert: Von der Entscheidungsfreiheit des Komponisten Karlheinz Stockhausen: …wie die Zeit vergeht… John Cage: Beschreibung der in Music for Piano 21-52 angewandten Kompositionsmethode Henri Pousseur: Zur Methodik Heft 4: junge Komponisten (1958) [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Wolf-Eberhard von Lewinski: Junge Komponisten Udo Unger: Luigi Nono: Polifonica – Monodia – Ritmica: Il canto sospeso Gottfried Michael Koenig: Henri Pousseur Rudolf Stephan: Hans Werner Henze György Ligeti: Pierre Boulez. Entscheidung und Automatik in der Structure Ia Heinz-Klaus Metzger: Intermezzo I: Das Altern der Philosophie der neuen Musik Herbert Eimert: Intermezzo II Gottfried Michael Koenig: Bo Nilsson Wolf-Eberhard von Lewinski: Giselher Klebe Piero Santi: Luciano Berio Reinhold Schubert: Bernd Alois Zimmermann Giacomo Manzoni: Bruno Maderna Dieter Schnebel: Karlheinz Stockhausen Heft 5: Berichte – Analyse (1959) [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Herbert Eimert: Debussys Jeux Mauricio Kagel: Ton-Cluster, Anschläge, Übergänge György Ligeti: Zur III.
Dabei bezeichnet die Gammafunktion, ihre Ableitung und die Euler-Mascheroni-Konstante. Reihen über harmonische Zahlen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Es gilt für die harmonischen Zahlen: [4] Hierbei bezeichnet die Riemannsche Zetafunktion. Anwendungsbeispiel [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Oben freitragender Ausleger, unten Schemazeichnung. Gleichartige Klötze sollen so gestapelt werden, dass der oberste Klotz möglichst weit über den untersten ragt. Die 8 reine des neiges. Das Bild zeigt eine Anwendung der harmonischen Reihe. Werden die horizontalen Abstände der Klötze – von oben nach unten vorgehend – gemäß der harmonischen Reihe gewählt, so ist der Stapel gerade noch stabil. Auf diese Weise bekommt der Abstand zwischen dem obersten und untersten Klotz den größtmöglichen Wert. Die Klötze haben eine Länge. Der oberste Baustein liegt mit seinem Schwerpunkt auf dem zweiten Stein an der Position. Der gemeinsame Schwerpunkt von Stein 1 und Stein 2 liegt bei, der von Stein 1, Stein 2 und Stein 3 bei, der des -ten Steins bei.
Vergleich einiger Partialsummen mit Werten der Näherungsformel H n ≈ ln n + γ n H n (gerundet) Näherung (gerundet) Genauigkeit (gerundet) 5 2, 28 2, 19 95, 77% 10 2, 93 2, 88 98, 32% 20 3, 60 3, 57 99, 31% 50 4, 50 4, 49 99, 78% 100 5, 19 5, 18 99, 90% 500 6, 79 1 − 1·10 −4 1000 7, 49 7, 48 1 − 7·10 −5 10000 9, 79 1 − 5·10 −6 Integraldarstellung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Es gilt. Diese Darstellung verallgemeinert die -te harmonische Zahl auf komplexe Werte für mit. Besondere Werte der verallgemeinerten harmonischen Zahlen sind beispielsweise: Erzeugende Funktion [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Entwickelt man die Funktion um den Entwicklungspunkt 0 in eine Taylorreihe, so erhält man die harmonischen Zahlen als Koeffizienten: Dies sieht man leicht ein, indem man das Cauchy-Produkt der für absolut konvergenten Reihen von und bildet. Die Reihe – Wikipedia. Beziehung zur Digamma-Funktion [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die -te harmonische Zahl lässt sich durch die Digamma-Funktion ausdrücken und auf komplexe Werte für fortsetzen (falls keine negative ganze Zahl ist):.
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