Inhaltsverzeichnis Vorbemerkung 1. Unser Zahlensystem 1. 1 Natürliche Zahlen 1. 2 Ganze Zahlen 1. 3 Rationale Zahlen 1. 4 Reelle Zahlen 1. 5 Komplexe Zahlen 1. 5. 1 Historie 1. 2 Komplexe Zahlen als Lösung quadratischer Gleichungen 1. 3 Die imaginäre Einheit 1. 4 Imaginärzahlen und komplexe Zahlen 2. Darstellung komplexer Zahlen 2. 1 Summendarstellung 2. 2 Paardarstellung, geometrische Darstellung 2. 3 Polarkoordinaten-Darstellung (goniometrische Darstellung) 3. Rechnen mit komplexen Zahlen 3. 1 Addition und Subtraktion 3. 1. 1 Mathematische Addition oder Subtraktion 3. 2 Grafische Addition oder Subtraktion 3. 2. 1 Addition 3. 2 Subtraktion 3. 2 Multiplikation 3. 1 Arithmetische Form 3. 2 Goniometrische Form 3. 3 Multiplikation konjugierter Zahlenpaare 3. Thema Facharbeit mit komplexen Zahlen | Mathelounge. 3 Division 3. 3. 4 Potenzieren und Radizieren 4. Komplexe Zahlen in der Praxis Nachwort: Wie reell sind reelle Zahlen? Quellen Von den uns zur Auswahl vorgeschlagenen Facharbeits-Themen haben wir uns für die "komplexen Zahlen" entschieden.
Dieses sind Wurzeln (√). Später kam noch eine weitere Definition hinzu. Es waren die komplexen Zahlen (), mit denen sich diese Facharbeit hauptsächlich beschäftigen wird. Die komplexen Zahlen wurden erst definiert, als das Problem auftrat, dass Wurzeln mit negativen Zahlen nicht berechnet werden konnten. Das wohl bekannteste Problem, welches diese Definition nötig machte ist:. Es wurde die Zahl i II eingeführt. Diese bedeutet eine Erweiterung der Reellen Zahlen. Diese nenne..... [read full text] This page(s) are not visible in the preview. Please click on download. Die Darstellung der komplexen Zahlen Komplexe Zahlen entstehen aus der Summe der reellen Anteile und der imaginären Anteile einer Zahl. Oftmals erkennt man die komplexen Zahlen an dem Buchstaben z, mit dem diese dargestellt werden können. Facharbeit: Einführung in die Komplexen Zahlen - Fachbereichsarbeit. Die allgemeine Form lautet: z=a+bi a, b in z # =a-bi a= Realteil von z b= Imaginärteil von z Auch die komplexen Zahlen weisen 2 Sonderfälle auf. Ist der Re(z) =0, so kann z nur imaginär werden, da keine reelle Zahle mehr vorhanden ist.
Baesweiler, 22. März 2001 Fabian Ohler Harald Schmidinger Der Bereich der komplexen Zahlen ist Bestandteil unseres Zahlensystems – allerdings ein Bereich, der erst relativ spät "entdeckt" b wurde. Deshalb soll zur Einleitung zunächst ein kurzer Überblick über unser Zahlensystem gegeben werden. Auffällig ist, dass es stets Problemstellungen gab, die mit den bis dahin be- kannten Zahlen nicht mehr zu lösen waren, und die deshalb eine Erweite- rung des Zahlensystems um weitere Bereiche erforderlich machten. Auch die komplexen Zahlen sind aus einer solchen Notwendigkeit entstanden, wie wir unter Ziffer 1. 5 zeigen werden. Natürliche Zahlen sind die positiven ganzen Zahlen (1, 2, 3,... ). Die Zahl Null ist keine natürliche Zahl. Von den vier Grundrechenarten sind nur Addition und Multiplikation uneingeschränkt möglich. Komplexe Zahlen - GRIN. Bei Subtraktion und Division stößt man schnell an die Grenzen der natürlichen Zahlen. Die natürlichen Zahlen können auf einem Zahlenstrahl dargestellt werden. Die Menge der ganzen Zahlen ergibt sich aus der Erweiterung der natürlichen Zahlen um die Menge der negativen ganzen Zahlen und der Null c. Die Notwendigkeit negativer Zahlen ergibt sich unmittelbar aus der Subtraktion, nämlich dann, wenn eine größere (ganze) Zahl von einer kleineren (ganzen) Zahl abgezogen werden soll.
Es geht bei den " komplexen Zahlen" um Zahlen, die man sich nur vorstellen kann, da sie nicht greifbar sind. Die komplexen Zahlen können bei einer Vielzahl von Wissenschaften genutzt werden und finden in Mathematik, Physik und anderen Naturwissenschaften ihre Anwendungen. Diese Facharbeit kann allerdings nicht alle Aufgabengebiete erklären, sodass ich zu dem Entschluss gekommen bin, zuerst das Rechnen mit dieser Art von Zahlen zu zeigen und nur einen Anwendungsbereich näher zu erläutern. Daher erhält man in dieser Facharbeit nur einen groben Überblick über das Thema mit wenig Anwendungsbezug. Wie kam es zu den komplexen Zahlen und wie definiert man diese? Zuerst einmal muss auf die Entstehung des Zahlensystems aufmerksam gemacht werden. Als erstes definierte man die natürlichen Zahlen (). Dieses sind ganze Zahlen, welche alle positiv sein müssen. Bei den natürlichen Zahlen lassen sich Multiplikation und Addition immer ausführen. Möchte man jedoch auch Division und Subtraktion nutzen, so sind sehr enge Grenzen gesetzt, da negative oder rationale Zahlen entstehen können.
→ Division Vorraussetzung für die Division von komplexen Zahlen, ist dass man mit Komplex konjugierten rechnen kann, dies wird nach der Erläuterung der Division thematisiert werden. Zur Division von komplexen Zahlen..... This page(s) are not visible in the preview. |z|² = z⋅z¯ = (x + y ⋅ i) ⋅ (x − y ⋅ i) = x² − xyi + xyi − y²i² = x² + y² Das heißt soviel wie |z| = Wurzel (x² + y²) Dies war die Vorraussetzung um im Bereich der komplexen Zahlen zu dividieren. 6. Pragmatische Rechenregeln Am einfachsten lassen sich die Rechnungen, mithilfe der pragmatischen Rechenregeln durchführen: Die schon gerade eben im Punkt "Rechnungen" erwähnte Multiplikation der komplexen Zahlen, kann wenn es die Vorgabe ermöglicht in algebraischer Form zum Vorteil oder aber auch in Exponentialform, also der Addition von Argumenten und der Multiplikation von Beträgen durchgeführt werden. Angekommen bei der Division von komplexen Zahlen dividiert man bei diesen Rechenregeln die Beträge in Exponentialform, weiterführend werden die Argumente, auch Winkel genannt, subtrahiert.
Diese Facharbeit kann allerdings… Hierbei sollte man jedoch auch noch erwähnen, dass eine Quadratwurzel ebenso einfach in einer anderen Form berechnet, welche den Namen kartesische Form besitzt. Diese 5 Punkte erleichtern das Rechnen im Bereich der komplexen Zahlen. Schlussbemerkung Durch diese Facharbeit habe ich mich mit einem völlig neuen Thema beschäftigt und einen für mich völlig neuen Zahlenbereich gesehen, der sich durch seine völlig andere und neue Betrachtungsweise, von bisherigen Zahlenbereichen doch deutlich unterscheidet. Ich habe in meiner Facharbeit vielleicht einen kleinen Anteil dieses Zahlenbereiches beleuchten können doch um wirklich alles zu klären, wie zum Beispiel: Was sind komplexe Funktionen? Trotzdem war es mein Ziel, durch meine Facharbeit, einen Zugang für diesen Zahlenbereich zu bekommen, bin mit meinem Grundwissen das ich für die Mathematik habe an dieses Thema herangegangen und habe mich Schritt für Schritt so gut wie möglich informiert Zahlen sehr interessant, jedoch auch weitläufig als auch tiefgreifend sind.
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