Abbildung 8587 zeigt ein Foto des Versuches mit Zubehör: Teil A: Trägheitsmoment aus Drehschwingungen: Gestell mit Drillachse, Scheibe mit Gradeinteilung, Gewichtssatz, 7 Versuchskörper, Schieblehre, Maßstab, Stoppuhr. Die Abbildungen 4010 bis 4017 und 4019 skizzieren den Versuchsaufbau mit den verschiedenen Probekörpern. Eine Spiralfeder verbindet die zentrale feste Achse mit einem drehbar gelagerten flachen Hohlzylinder, der als Träger für die Probekörper dient. Nach Auslenkung aus der Ruhelage beobachtet man Drehschwingungen des Systems aus Hohlzylinder und Probekörper. Teil B: Trägheitsmoment aus Winkelbeschleunigung: Rad, Registrierpapier, Gewichtssatz, Zusatzgewicht, Zeitmarkengeber (Taktfrequenz Hz), Stoppuhr. Schwingungsgleichung: Physikalisches Pendel - Physik. Abbildung 4031 skizziert die Versuchsanordnung. Ein an einem Faden befestigter fallender Körper der Masse setzt über ein kleines Rad ein großes Rad in Bewegung, das mit Registrierpapier belegt ist. Ein umlaufender Draht dient als Zeitmarkengeber, der in Abständen von 0. 1 s eine Markierung auf das Registrierpapier zeichnet.
Grundlagen Theoretische Grundlagen des Versuches sind die Definition des Drehimpulses für ein System von Massenpunkten mit den Ortsvektoren und den Impulsen im Laborsystem und die Kreiselgleichung die die zeitliche Ableitung des Drehimpulses mit dem Drehmoment verknüpft. Wir nehmen an, dass die Massenpunkte zu einem starren Körper gehören und ein Punkt dieses Körpers im Raum (Laborsystem) festliegt. Dann gibt es stets eine momentane Drehachse, die sich aber im Allgemeinen sowohl im Raum als auch in Bezug auf die inneren Koordinaten des Körpers verlagern kann. Formeln & Herleitung für Massen-Trägheitsmomente - DI Strommer. Mit diesen Voraussetzungen kann man leicht zeigen, dass die Geschwindigkeiten der Massenpunkte im raumfesten System gegeben sind durch: wobei der Vektor der Winkelgeschwindigkeit ist, und der Ortsvektor der Massenpunkte im körperfesten System. Setzt man Gl. (81) in Gl. (79) ein, so ergibt sich ein lineares Gleichungssystem, welches nach Transformation auf die Hauptachsen die folgende Form annimmt: Die Größen, und sind die Komponenten des Drehimpulses bezüglich der Hauptträgheitsachsen, und, und die Komponenten des Vektors der Winkelgeschwindigkeit.
Es handelt sich bei dem obigen Stab um ein physikalisches Pendel, wenn die Auslenkung $\varphi$ sehr klein ist. Wird nun der Stab um den Winkel $\varphi$ nach links ausgelenkt (in Richtung der positiven $y$-Achse), so sorgt die rücktreibende Kraft $F_R$ dafür, dass das Pendel wieder in Richtung der Ruhelage schwingt (und darüber hinaus). Die rücktreibende Kraft ist der Auslenkung entgegengesetzt: Rücktreibende Kraft beim physikalischen Pendel Bei der rücktreibenden Kraft $F_R$ handelt sich dabei um eine Komponente der Gewichtskraft $F_G$. Diese greift im Schwerpunkt $S$ an und bewirkt ein Drehmoment bezüglich des Drehpunktes. 05.4 – Trägheitsmoment eines Hohlzylinders – Mathematical Engineering – LRT. Die Komponente $F_A$ wird durch die Aufhängung kompensiert. Methode Hier klicken zum Ausklappen $F_R = -F_G \sin(\varphi)$ Rücktreibende Kraft Diese greift im Schwerpunkt $S$ an und bewirkt ein Drehmoment bezüglich des Drehpunktes: Methode Hier klicken zum Ausklappen $M = F_R \cdot s = -F_G \sin(\varphi) \cdot s$ Drehmoment Es muss unbedingt darauf geachtet werden, dass $s$ der senkrechte Abstand von der Kraft $F_R$ zum Bezugspunkt darstellt.
Die Eigenfrequenz $\omega$ eines physikalischen Pendels hängt somit von der Masse des schwingenden Objekts, der Lage seines Schwerpunkts sowie von seinem Trägheitsmoment in Bezug auf den Aufhängepunkt ab. Trägheitsmoment In dem obigen Fall wurde das Trägheitsmoment $J$ in Bezug auf seinen Aufhängepunkt betrachtet. Häufig ist es aber so, dass das Trägheitsmoment $J_S$ in Bezug auf den Schwerpunkt des Körpers gegeben ist (ellenwerken entnommen werden kann). Ist also der Drehpunkt nicht der Schwerpunkt, so muss der Satz von Steiner verwendet werden, um das Trägheitsmoment für den Drehpunkt zu bestimmen: Methode Hier klicken zum Ausklappen $J = J_s + ma^2$ Trägheitsmoment mit $J_S$ Trägheitsmoment in Bezug auf den Schwerpunkt $m$ Masse des Körpers $a$ Abstand vom Schwerpunkt zur Aufhängung In unserem Beispiel ist der Abstand vom Schwerpunkt $S$ des Körpers zur Aufhängung mit $l$ bezeichnet. Es ergibt sich also der Satz von Steiner zu: Methode Hier klicken zum Ausklappen $J = J_s + ml^2$ mit $J$ Trägheitsmoment in Bezug auf den Drehpunkt $J_S$ Trägheitsmoment in Bezug auf den Schwerpunkt $m$ Masse $l$ Abstand vom Schwerpunkt zum Drehpunkt Das Trägheitsmoment $J_S$ in Bezug auf den Schwerpunkt ist für viele geometrische Figuren Tabellenwerken zu entnehmen.
Wir können nun also schreiben: $M = -F_G \cdot \varphi \cdot l = - m \cdot g \cdot \varphi \cdot l$ Das Drehmoment weist zudem den folgenden Zusammenhang auf: Methode Hier klicken zum Ausklappen $M = J \cdot \alpha$ mit $J$ Trägheitsmoment $\alpha$ Winkelbeschleunigung Die Winkelbeschleunigung ist die zweite Ableitung des Ausgangswinkels $\varphi$ nach der Zeit $t$: $M = J \cdot \frac{d^2 \varphi}{dt^2}$ Beide Gleichungen werden nun gleichgesetzt: $ J \cdot \frac{d^2 \varphi}{dt^2} = - l \cdot m \cdot g \cdot \varphi$ Teilen durch das Trägheitsmoment führt auf die Differentialgleichung 2. Ordnung: Methode Hier klicken zum Ausklappen $\frac{d^2 \varphi}{dt^2} = - \frac{l \cdot m \cdot g}{J} \cdot \varphi$ Wir haben hier nun wieder eine Differentialgleichung 2. Ordnung gegeben, für die gilt, dass das Ergebnis der zweiten Ableitung des Winkels nach der Zeit $t$ einen konstanten Faktor $- \frac{l \cdot m \cdot g}{J}$ und den Winkel $\varphi$ selbst ergibt.
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