Nachfolgende Gleichung wird in Verbindung mit dem Satz des Pythygoras am häufigsten genutzt. a² + b² = c² Rechenbeispiel 1: Berechne am folgenden Beispiel die Länge der Hypotenuse c. Rechenbeispiel – Satz des Pythagoras Die Katheten des Dreiecks sind 4 cm und 6 cm lang. Die Gleichung wird nach dem Satz des Pythagoras nach c umgestellt, indem diese beiden Angaben eingesetzt werden. Berechnen Sie die Quadrate und beachten Sie dabei, dass Zahlen und Einheiten quadriert werden müssen. Fassen Sie die Werte und ziehen Sie die Wurzel. Die Länge der Hypotenuse c beläuft sich auf 7, 21 cm. Berechnung Rechenbeispiel – Satz des Pythagoras Der Höhensatz des Euklid Der Satzgruppe des Pythagoras gehören ebenfalls der Höhensatz und Kathetensatz an. Der Höhensatz wird an einem rechtwinkligen Dreieck angewendet, der jedoch eine Höhe h aufweist. Die Formel für den Höhensatz bildet den Zusammenhang zwischen Höhe und Achsenabschnitten p und q. h² = p x q Diese Formel kann ebenfalls direkt nach h oder alternativ nach p oder q umgestellt werden.
Der Satz des Pythagoras beschäftigt sich mit den drei Seitenlängen eines r echtwinkligen Dreieckes. Die beiden Seiten, welche die Schenkel des rechten Winkels bilden, heißen Katheten, die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, nennt man Hypotenuse. Die Hypotenuse ist auch die längste Dreieckseite. Unten ist der Lehrsatz des Pythagoras mit den drei quadratischen Flächen a 2, b 2 und c 2 abgebildet. Der Lehrsatz des Pythagoras lautet in Textform: Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat. In einer Formel ausgedrückt würde das wie folgt lauten: Kathete² + Kathete² = Hypotenuse² Oder passend zu folgendem Dreieck: a² + b² = c² Übung Übung 1 Übung 2 Übung 3 Textaufgaben
In diesem Abschnitt wollen wir uns etwas näher mit dem Satz des Pythagoras beschäftigen, den man auch einfach unter der Formel a2 + b2 = c2 kennt. Es soll erklärt werden, wann der Satz des Pythagoras angewendet wird und wie man mit der Formel genau arbeitet. Die Gleichung a2 + b2 = c2 ist den meisten einschlägig bekannt, selbst wenn die Schulzeit schon weit zurückliegt. Anwendung findet diese Formel nur bei rechtwinkligen Dreiecken. Sie dient dazu, die längen der jeweiligen Seiten zu berechnen. Dabei sind: a und b die Längen der Katheten c die Länge der Hypotenuse Dabei ist zu beachten, dass alle Längen in der gleichen Einheit angegeben werden. Anwenden von a2 + b2 = c2 mit Beispiele je nachdem welche Seitenlänge des rechtwinkligen Dreiecks man berechnen will, muss man die Gleichung entweder nach a, b oder c umstellen. Daher soll hier erst einmal die allgemeine Formel entsprechend für jede Seite a, b oder c umgestellt werden. Dann ergibt sich aus a2 + b2 = c2: Anhand von einigen Beispielen wollen wir uns die Berechnung nun etwas näher anschauen.
Der Satz des Pythagoras lautet: a² + b²= c². Mit dieser Formel ist es mögliche die dritte Seite eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen. Sie kann allerdings NUR bei rechtwinkligen Dreiecken angewendet sind a und b die beiden Katheten, also die Seiten, die links und rechts vom rechten Winkel liegen. C ist die Hypotenuse, die Seite gegenüber des rechten Winkels. Wenn man also die Länge von zwei Seiten kennt, werden diese in die Formel eingesetzt und so die dritte, noch fehlende, Seite berechnet. Wenn man nicht die Länge der Seite c, sondern eine die Länge einer der beiden Katheten berechnen möchte, muss man den Satz des Pythagoras umstellen. So gilt für die Berechnung der Kathete a: a²= c² – b² Und für die Berechnung der Kathete b: b²= c² – a² Beispielaufgaben: 1) a = 3cm b= 3cm c=? a²+ b² = c² Zunächst werden die vorhandenen Werte eingesetzt: (3cm)² +(3cm)² = c² Dann werden die Werte in den Klammern hoch zwei genommen: 9cm² + 9cm² = c² Die Werte von a und b werden addiert: 18cm² = c² Nun muss man die Wurzel ziehen, um den Wert von c zu erhalten: C = 4, 24cm 2) a =?
Die Formel lautet: a 2 + b 2 = c 2 Ist die Seite a oder b gesucht, kannst du die Formel umstellen. a 2 + b 2 = c 2 | -b 2 a 2 = c 2 – b 2 Mit dieser Formel kannst du die Seitenlänge a des rechtwinkligen Dreiecks berechnen. Genau nach derselben Methode kannst du die Formel für die Seitenlänge b umstellen. a 2 + b 2 = c 2 |-a^2 b 2 = c 2 – a 2 Satz des Pythagoras – Aufgaben #1. Wie lang ist die Seite c eines Dreiecks mit den Katheten b=4 und a=3? #2. Wie lang ist die Seite a eines Dreiecks mit den Seitenlängen c=10 (Hypotenuse) und b=5 (Kathete)? 5 8, 66 7, 93 15 #3. Wie lang ist die Seite c eines Dreiecks mit den Katheten-Quadraten a^2 = 25 und b^2 = 9? 34 26, 57 5, 83 20, 96 #4. Ist ein Dreieck mit den Seitenlängen a = 4, b = 12 und c = 15 ein rechtwinkliges Dreieck? c 2 = a 2 + b 2 | Werte einsetzen c 2 = 4 2 + 3 2 | Wurzel ziehen c = 5 Als erstes müssen wir die Formel für den Satz des Pythagoras nach a^2 umstellen. a 2 + b 2 = c 2 |- b 2 a 2 = c 2 – b 2 |Werte einsetzen a 2 = 10 2 – 5 2 |Wurzel ziehen a = 8, 66 c 2 = 25 + 9 |Wurzel ziehen c = 5, 83 Bei jedem rechtwinkligen Dreieck stimmt der Satz des Pythagoras und die Gleichung a 2 + b 2 = c 2.
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