Mathematik 5. Klasse ‐ Abitur Der Grenzwert einer Funktion wird ähnlich definiert wie der Grenzwert einer Zahlenfolge, allerdings muss man zwei verschiedene Situationen unterscheiden (vgl. auch die Grenzwertsätze für Funktionen): Der Grenzwert an einer bestimmte Stelle (einem x -Wert) x 0. Dieser spielt einerseits eine Rolle bei der Definition und Untersuchung der Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion, andererseits an Definitionslücken und Polstellen, an denen die Funktionswerte über alle Grenzen wachsen oder fallen. Der Grenzwert für \(x \rightarrow \pm \infty\), also wenn der x -Wert gegen plus oder minus unendlich strebt. Beim Grenzverhalten einer Funktion f für \(x \rightarrow{x}_0\) untersucht man eine sog. \(\delta\) -Umgebung von \(x_0\), dies ist das (kleine) offene Intervall \(U_\delta = \] x_0 - \delta; x_0 + \delta [\), sowie die " punktierte \(\delta\) - Umgebung " \(U_\delta \setminus \{x_0\}\). Der Grenzwert \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}f(x) = g\) existiert genau dann, wenn man für jedes (sehr kleine) \(\epsilon > 0\) eine (ebenfalls kleines) \(\delta\) -Umgebung \(U_\delta\) von x 0 finden kann, sodass für alle \(x \in U_\delta\) gilt: \(|f(x) - g| < \epsilon\) (dies ist das sog.
Eng verwandt mit dem Begriff der Stetigkeit ist der Grenzwertbegriff für Funktionen auf allgemeinen Definitionsbereichen: Definition 2. 3. 27 (Grenzwert einer Funktion) Gegeben seien: eine nichtleere Menge und ein, so daß es eine Folge in gibt, die gegen konvergiert, eine Funktion und ein. Die Funktion konvergiert gegen für, falls für jede Folge in aus stets folgt. Bezeichnung. Wir schreiben für obige Definition: oder für. Der Beweis des Satzes ist offensichtlich (vgl. Lemma)
". Du lässt den x-Wert gegen eine bestimmte Zahl oder gegen ∞ laufen, um möglichst nah an einen y-Wert heranzukommen. Den Grenzwert nennt man auch Limes. Er beschreibt, was passiert, wenn der x-Wert in eine bestimmte Richtung geht. Du schreibst "lim" und darunter die Variable und einen Pfeil, der auf eine Zahl oder das Unendlichzeichen zeigt. Damit beschreibst du, dass x gegen einen Wert oder unendlich läuft. Nach dem "lim" steht die Funktion, in die du die Werte für x einsetzt. lim f(x) x → +/- ∞ So liest du es vor: "Der Limes von f(x) für x gegen plus/minus unendlich ist …" x → Zahl In diesem Fall sagst du: "Der Limes von f(x) für x gegen die Zahl ist …" Grenzwert bestimmen: So geht's! Man unterscheidet zwischen zwei Fällen: die x-Werte gehen gegen unendlich die x-Werte gehen gegen einen bestimmten Wert Um den Grenzwert zu bestimmen, kann man Wertetabellen benutzen. Man schreibt dort zu bestimmten x-Werten auf, welches y herauskommt, wenn man den Wert in die Funktion einsetzt. Bei der Funktion f(x)=x² sieht die Wertetabelle so aus: Loading... Du siehst: Je größer der x-Wert, desto größer der dazugehörige y-Wert.
$$ \lim_{x\to+\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^x = 0 \qquad \text{wegen} 0 < \frac{1}{2} < 1 $$ Anmerkung $$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & 5 & 10 & 15 & 20 \\ \hline f(x) & \frac{1}{32} & \frac{1}{1. 024} & \frac{1}{32. 768} & \frac{1}{1. 576} \end{array} $$ Beispiel 3 Berechne den Grenzwert der Funktion $f(x) = (-2)^x$ für $x\to+\infty$. $$ \lim_{x\to+\infty} (-2)^x = \text{nicht existent} \qquad \text{wegen} -2 < 0 $$ Grenzwert x gegen minus unendlich $$ \begin{equation*} \lim_{x\to\fcolorbox{Red}{}{$-\infty$}} a^x = \begin{cases} 0 & \text{für} a > 1 \\[5px] +\infty & \text{für} 0 < a < 1 \\[5px] \text{existiert nicht*} & \text{für} a < 0 \end{cases} \end{equation*} $$ * Die Basis $a$ einer Exponentialfunktion ist nur für positive Werte definiert. Beispiel 4 Berechne den Grenzwert der Funktion $f(x) = 2^x$ für $x\to-\infty$. $$ \lim_{x\to-\infty} 2^x = 0 \qquad \text{wegen} 2 > 1 $$ Anmerkung $$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & -5 & -10 & -15 & -20 \\ \hline f(x) & \frac{1}{32} & \frac{1}{1.
Bezeichnung und Bemerkung 2. 10 Man schreibt Der rechsseitige Grenzwert ist ein Spezialfall des Grenzwertbegriffes. Man kann also auch schreiben. Analog definiert man für ein nichtleeres, offenes Intervall mit rechtem Endpunkt den linksseitigen Grenzwert und schreibt Es sei ein offenes Intervall, und. Wir vereinbaren:,. Für innere Punkte gilt also: und. mbert 2001-02-09
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