Die Dreiecksungleichung ist in der Geometrie ein Satz, der besagt, dass eine Dreiecksseite höchstens so lang wie die Summe der beiden anderen Seiten ist. Das "höchstens" schließt dabei den Sonderfall der Gleichheit ein. Beweis zu: Die umgekehrte Dreiecksungleichung - YouTube. Die Dreiecksungleichung spielt auch in anderen Teilgebieten der Mathematik wie der Linearen Algebra oder der Funktionalanalysis eine wichtige Rolle. Formen der Dreiecksungleichung Dreiecksungleichung für Dreiecke Nach der Dreiecksungleichung ist im Dreieck die Summe der Längen zweier Seiten und stets mindestens so groß wie die Länge der dritten Seite. Das heißt formal: Man kann auch sagen, der Abstand von A nach B ist stets höchstens so groß wie der Abstand von A nach C und von C nach B zusammen, oder um es populär auszudrücken: "Der direkte Weg ist immer der kürzeste. " Das Gleichheitszeichen gilt dabei nur, wenn Teilstrecken von sind – man spricht dann auch davon, dass das Dreieck "entartet" ist. Da aus Symmetriegründen auch gilt, folgt, analog erhält man, insgesamt also.
Beispiel Dreiecksungleichung im Video zur Stelle im Video springen (03:13) Dieses Beispiel wird mit Hilfe von Vektoren durchgeführt. Dabei werden drei Punkte im zweidimensionalen Raum, die ein Dreieck bilden, angenommen. Punkt A, Punkt B und Punkt C. Als Erstes werden nun die Strecken berechnet. Alle Ergebnisse sind auf zwei Nachkommastellen gerundet. Dreiecksungleichung - Analysis und Lineare Algebra. In die normale Dreiecksungleichung eingesetzt: In die umgekehrte Dreiecksungleichung eingesetzt: Dreiecksgleichung Rechenbeispiel Damit sind beide Ungleichungen richtig und stimmen für dieses Beispiel. Weitere Herleitung mit Kosinussatz Diese Herleitung erfolgt wieder mit reellen Zahlen. Die Dreiecksungleichung lässt sich des Weiteren aus dem Kosinussatz herleiten. Dieser lautet: Außerdem hat der Kosinus einen Definitionsbereich von -1 bis 1. Daraus lässt sich schließen: Anschließend wird dies mit multipliziert: Eine Addition der letzten Gleichung und des Kosinussatzes ergibt: Unter Verwendung der binomischen Formel: Zum Schluss wird die Wurzel gezogen und das Ergebnis stimmt mit der Dreiecksungleichung überein.
Bitte zeige, dass die Verbindung von Punkt $B$ über $A$ nach $C$ länger ist als von $B$ nach $C$. Zunächst einmal werden die Orstvektoren $\vec{a}$, $\vec{b}$ und $\vec{c}$ eingeführt. Dabei zeigt der Vektor $\vec{a}$ vom Ursprung auf den Punkt $A$, der Vektor $\vec{b}$ vom Ursprung auf den Punkt $B$ und der Vektor $\vec{c}$ vom Ursprung auf den Punkt $C$: Die Ortsvektoren werden wie folgt berechnet: $\vec{a} = (2, 4) - (0, 0) = (2, 4)$ $\vec{b} = (-4, 3) - (0, 0) = (-4, 3)$ $\vec{c} = (1, 1) - (0, 0) = (1, 1)$. Normierte Räume und Banachräume - Mathepedia. Es können nun mittels Vektoraddition die Vektoren $\vec{BA}$, $\vec{AC}$ und $\vec{BC}$ bestimmt werden: $\vec{BA} = \vec{a} - \vec{b} = (2, 4) - (-4, 3) = (6, 1)$ $\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = (1, 1) - (2, 4) = (-1, -3)$ $\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (1, 1) - (-4, 3) = (5, -2)$ Diese Vektoren stellen zunächst wieder Ortsvektoren dar, die vom Ursprung auf die Punkt (6, 1), (-1, -3) und (5, -2) zeigen. Diese werden dann parallel zu sich selbst in die Punkte verschoben. Es ergibt sich das folgende Bild: In der obigen Grafik sind die Ortsvektoren (gestrichelte Vektoren) eingezeichnet, welche auf die entsprechenden Punkte zeigen.
Diese Ungleichung gilt auch, wenn Integrale anstelle von Summen betrachtet werden: Ist, wobei ein Intervall ist, Riemann-integrierbar, dann gilt. [1] Dies gilt auch für komplexwertige Funktionen, vgl. [2] Dann existiert nämlich eine komplexe Zahl so, dass und. Da reell ist, muss gleich Null sein. Außerdem gilt, insgesamt also. Dreiecksungleichung für Vektoren [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Für Vektoren gilt:. Die Gültigkeit dieser Beziehung sieht man durch Quadrieren, unter Anwendung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung:. Auch hier folgt wie im reellen Fall sowie Dreiecksungleichung für sphärische Dreiecke [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Zwei sphärische Dreiecke In sphärischen Dreiecken gilt die Dreiecksungleichung im Allgemeinen nicht. Sie gilt jedoch, wenn man sich auf eulersche Dreiecke beschränkt, also solche, in denen jede Seite kürzer als ein halber Großkreis ist. In nebenstehender Abbildung gilt zwar jedoch ist. Dreiecksungleichung für normierte Räume [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] In einem normierten Raum wird die Dreiecksungleichung in der Form als eine der Eigenschaften gefordert, die die Norm für alle erfüllen muss.
Anwendungsfälle Die Dreiecksungleichung spielt nicht nur eine Rolle bei der Konstruktion von Dreiecken, sondern findet auch bei der Identifikation von metrischen und normierten Räumen Anwendung. Die Ungleichung ist hier für beide Räume eine Art Gesetz, das gilt, wenn einer dieser zweien Anwendungen findet. Handelt es sich zum Beispiel um einen normierten Raum, so muss für diesen auch immer die Dreiecksungleichung zutreffen. Außerdem gilt die Dreiecksungleichung nicht nur für reelle Zahlen, sondern auch für komplexe Zahlen und spielt eine Rolle bei der Abschätzung von Ungleichungen mit Wurzel.
Beweis Nach der Tschebyscheff Summen-Ungleichung ist. Für gehen die Riemannschen Approximationssummen in die gewünschten Integrale über. Anderson-Ungleichung [ Bearbeiten] Sind nichtnegative konvexe Funktionen mit, so gilt. Es sei die Menge der nichtnegativen konvexen Funktionen mit. Jede Funktion wächst monoton, denn gäbe es, so dass ist, so würde der Punkt überhalb der Sekante liegen. ist abgeschlossen bezüglich der Multiplikation, das heißt aus folgt. Da und beide monoton wachsen, ist, woraus folgt. Für mit ist dann, nachdem und konvex sind. Und das ist. Definiert man, dann gilt die Implikation. Für alle gilt die Ungleichung. Die Flächen und sind gleich. Es gibt einen Wert, so dass für alle ist und für alle ist. Also ist Nachdem monoton wächst, ist. Daher ist. Für gilt dann. Abschätzung zu log(1+x), cos(x), sin(x) [ Bearbeiten] ist [Mit der Stirling-Formel verwandte Formel] [ Bearbeiten] Da der natürliche Logarithmus streng monoton wächst ist. Summiert man nach von bis, so ist. Dabei ist.