der Schuhgröße etwas abgeändert (da diese zu schön sind, d. h. perfekt auf einer Linie liegen – und damit existieren keine Differenzen). Das Streudiagramm für die 3 Messdaten inkl. der Regressionsgeraden (mit der auf den abgeänderten Daten basierenden Funktion: y i = α + β × x i = 34 + 0, 05 × x i): Anton hat eine Schuhgröße von 42, die lineare Regressionsfunktion berechnet für ihn einen "theoretischen" Wert von 34 + 0, 05 × 170 = 42, 5 (bei 170 cm Körpergröße geht die Gerade durch den y-Wert (Schuhgröße) 42, 5). Die "vertikalen Differenzen" zwischen den tatsächlichen Werten und den Werten auf der Regressionsgeraden sind die sog. Residuen, hier für Anton 42 - 42, 5 = -0, 5 (für Bernd und Claus sind die Residuen entsprechend 44 - 43 = 1, 0 sowie 43 - 43, 5 = - 0, 5). Laut der Methode der kleinsten Quadrate ist die am beste passende Ausgleichsgerade diejenige, die die Summe der quadrierten Abstände für alle Datenpunkte minimiert. Das ist die oben eingezeichnete Linie, die analog dem Beispiel zur linearen Regression berechnet wurde.
Dein Ziel ist also, dass die Regressionslinie möglichst nah an vielen Punkten des Streudiagramms liegt. Mathematisch suchst du also die Gleichung, bei der die quadrierten Abweichungen aller Werte von der Geraden minimal sind. Daher kommt auch der Name Methode der kleinsten Quadrate. Vorhersage und Vorhersagegüte Spitze! Jetzt hast du gelernt, was das Modell der Regression ist und wie man die Regressionsgerade bestmöglich durch die Daten legt. Was kannst du jetzt konkret mit deiner Geraden anfangen? Das Regressionsmodell ist ein Vorhersagemodell. Es geht darum, durch bereits gesammelte Daten des Prädiktors und des Kriteriums Vorhersagen für die Zukunft zu treffen. Für die Prognose muss nur noch der Prädiktor bekannt sein, um das Kriterium zu prognostizieren. Beispiel: Mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate hast du für den Prädiktor Körpergröße (in cm) und das Kriterium Einkommen (Euro netto) folgende Gleichung aufgestellt: = b ⋅ x + a = 13 ⋅ x + 10 Hiermit kannst du nun für jede beliebige Körpergröße das Einkommen vorhersagen.
Methode der kleinsten Fehlerquadrate.. rt und von a-z exemplarisch durchgerechnet... erforderliche Vorkenntnisse: Grundlagen der Differentialrechnung (Ableitungen, Extremwertbestimmung) Die Methode der kleinsten Fehlerquadrate dient in der Mathematik u. A. dazu, aus einer Reihe von Messwerten ein Gesetz zu erschlieen oder voraussagen ber weitere Messwerte zu treffen. Mit einem Beispiel lsst sich die Idee am besten veranschaulichen: Nehmen wir an, die folgenden 4 Messwerte wurden bei einem Experiment aufgenommen: x y z. B. Zeit in Sekunden z. zurckgelegte Wegstrecke 1 1. 41 2 1. 60 3 2. 05 4 2. 22 oder noch einmal anders formuliert, haben wir 4 Punkte im xy-Koordinatensystem: $$\begin{eqnarray} P_1 = \left(\begin{array}{c} P_1x \\ P_1y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1. 41 \end{array}\right) \\ P_2 = \left(\begin{array}{c} P_2x \\ P_2y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1. 60 \end{array}\right) \\ P_3 = \left(\begin{array}{c} P_3x \\ P_3y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2.
Die Funktion fit erwartet zwei Parameter Eine Liste mit den Datenpunkten, jeweils (x, y) Eine Liste mit Elementarfunktionen, aus denen die Näherungsfunktion für die Punkte als Linearkombination zusammengesetzt wird Für unser Beispiel: Weitere Beispiele Beispiel 1 Gesucht ist eine Gerade der Form f(x) = ax+b, die die drei Punkte (3, 3), (6, 4) und (9, 6) möglichst gut approximiert ( Regressionsgerade). mathGUIde hat (hier in etwas vereinfachter Form) die Funktion f(x) = x/2 + 4/3 geliefert. Zur Kontrolle der Approximation schauen wir uns einen Funktionsplot an. Dabei ersparen wir uns diesmal das manuelle Zusammensetzen der Funktionen. Die Funktion fitFn ruft fit auf und gibt dann die zusammengesetzte Funktion aus: Beispiel 2 Eine Parabel soll an vier Punkte angenähert werden: Kontrolle des Ergebnisses: Beispiel 3 Transzendente Funktion: f(x) = a + b \, x \log x + c \, e^x Gesucht sind die Koeffizienten a, b, c Kontrolle des Ergebnisses:
05 \end{array}\right) \\ P_4 = \left(\begin{array}{c} P_4x \\ P_4y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2. 22 \end{array}\right) \end{eqnarray} $$ Diese Messwerte sehen in einem Diagramm etwa so aus: Abbildung 1: 4 Messpunkte im xy-Koordinatensystem scheinen ungefhr auf einer Geraden zu liegen. Man sieht sofort, dass die Messwerte "ungefhr" auf einer Geraden liegen. Man knnte das Diagramm ausdrucken und mit einem Linieal eine Linie entlang der Messpunkte zeichnen, die "ungefhr" dem Verlauf entspricht. Die Linie kann aber nicht genau durch die Punkte gehen, da sie eben nur "ungefhr" auf einer Geraden liegen. Das Verfahren der kleinsten Fehlerquadrate, bietet nun eine Mglichkeit, diese "ungefhre" Linie mathematische zu bestimmen und somit den Verlauf der Messwerte zu beschreiben. Gesucht ist eine Gerade der Form, die "so gut wie mglich" den Verlauf dem Verlauf der Messwerte entspricht. Die Anforderung an diese Gerade ist, dass die Abstnde der Messpunkte zu ihr so klein wie mglich sein sollen.
Umgekehrte Rückschlüsse darfst du nicht ziehen: Du kannst hier nicht von Einkommen auf die Körpergröße schließen. Grundlagen der Regression Angenommen, du hast herausgefunden, dass es einen Zusammenhang zwischen Einkommen und Körpergröße gibt. Diesen Zusammenhang nennst du auch Korrelation. Du hast somit zwei Variablen für deine Regressionsrechnung vorliegen: Größe als Prädiktor und Einkommen als Kriterium. Jetzt kannst du im Rahmen der Regressionsanalyse die Steigung der Regressionsgeraden ermitteln. In dem Beispiel heißt die positive Steigung der Geraden: Je größer die Person, desto höher ist ihr Einkommen. Diese Aussage kann dich jetzt auf den ersten Blick verwundern. Deswegen ist es wichtig, dass du dir 2 Dinge merkst: Regressionen beschreiben keinen Kausalzusammenhang. Sie beschreiben eine Korrelation. Regressionen zeigen zwar, dass der Prädiktor mit dem Kriterium zusammenhängt. Aber bezogen auf das Beispiel heißt das nicht, dass große Menschen wegen ihrer Größe ein höheres Einkommen haben.
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