Wiederholung: Winkel zwischen Vektoren Zwei Vektoren a → und b → bilden immer einen Winkel. Der Winkel zwischen den Vektoren kann von 0 ° bis 180 ° betragen. Sind die Vektoren nicht parallel, können sie auf den einander schneidenden Geraden angeordnet werden. Die Vektoren können die folgenden Winkel bilden: 1. einen spitzen Winkel stumpfen Winkel 3. einen rechten Winkel (Vektoren sind zueinander orthogonal) Liegen die Vektoren auf den parallelen Geraden, können sie die folgenden Winkel bilden: 4. den Winkel von 0 ° (die Vektoren sind parallel) 5. den Winkel von 180 ° (Vektoren sind antiparallel) Ist einer der Vektoren oder die beiden Vektoren die Nullvektoren, beträgt der Winkel zwischen ihnen 0 °. Den Winkel zwischen den Vektoren bezeichnet man: a → b → ˆ = α Skalarprodukt von Vektoren Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist gegeben als: a → ⋅ b → = a → ⋅ b → ⋅ cos a → b → ˆ Das Skalarprodukt von Vektoren ist eine Zahl im Gegensatz zu den anderen Rechenoperationen Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einer Zahl.
$\Rightarrow$ Winkel mit negativem Vorzeichen Abb. 6 / Drehung im Uhrzeigersinn Bildliche Darstellung von Winkeln Wem klar ist, in welche Drehrichtung positiv gerechnet wird, kann sich die Pfeilspitzen sparen. Zur bildlichen Darstellung eines Winkels ist ein Kreisbogen völlig ausreichend. Abb. 7 / Winkel als Kreisbogen Insbesondere in farbigen Abbildungen wird jedoch oft noch zusätzlich der zum Kreisbogen gehörende Kreissektor ausgemalt. Abb. 8 / Winkel als Kreissektor In welchem Abstand der Kreisbogen zum Mittelpunkt (Radius) gezeichnet wird, hat keinen Einfluss auf den Winkel. In den folgenden beiden Abbildungen ist also derselbe Winkel gemeint. Kreisbogen mit Radius $r = 1\ \textrm{LE}$ Abb. 9 / Winkel als Kreisbogen mit Radius $r = 1\ \textrm{LE}$ Kreisbogen mit Radius $r = 2\ \textrm{LE}$ Abb. 10 / Winkel als Kreisbogen mit Radius $r = 2\ \textrm{LE}$ Bezeichnung von Winkeln Um einen bestimmten Winkel ansprechen zu können, müssen wir ihm einen Spitznamen geben. Das ist vor allem dann wichtig, wenn in einer Abbildung mehrere Winkel eingezeichnet sind.
In diesem Fall stimmt das Ergebnis, weshalb die Vektoren orthogonal zueinander sind. Abbildung 2: orthogonale Vektoren a und b Orthogonale Vektoren bestimmen Was machst du, wenn du einen Vektor gegeben hast und einen dazu orthogonalen Vektor finden sollst? Im folgenden Abschnitt lernst du genau das. Aufgabe 2 Gebe einen Vektor an, der orthogonal zum Vektor ist. Lösung Als Erstes kannst du dir die Formel für die Orthogonalität zweier Vektoren aufschreiben. Als Nächstes musst du den Vektor in die Formel einsetzen. Danach kannst du diese Formel auflösen und setzt dabei für den Vektor einfach Variablen ein. Für zwei der Variablen des Vektors kannst du dir beliebige Werte aussuchen, den anderen Wert kannst du dann passend dazu berechnen. In diesem Fall nimmst du und. Du kannst hier alles nehmen, außer den Vektor, da dieser ja keine Länge hat und daher keinen 90° Winkel mit dem Vektor einschließen kann. Jetzt kannst du weiter auflösen und alle Zahlen auf eine Seite schreiben. Danach musst du weiter nach auflösen.
Im Anschluss kannst du dir zwei der drei Variablen des fehlenden Vektors aussuchen. In diesem Beispiel nehmen wir. Die Werte setzt du in die Formel ein und löst diese so weit wie möglich. Der Vektor steht orthogonal zum Vektor. Aufgabe 6 Liegen die Vektoren orthogonal zueinander? Lösung Hier musst du die Vektoren in die Formel einsetzen und diese dann so weit wie möglich auflösen. Die beiden Vektoren sind orthogonal, da ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Orthogonale Vektoren - Das Wichtigste
Grundsätzlich gibt es drei Möglichkeiten, um einem Winkel einen Namen zuzuweisen. Zur Erinnerung: Der 1. Schenkel wird durch Drehung gegen den Uhrzeigersinn auf den 2. Schenkel abgebildet. Bezeichnung durch drei Punkte Mathematische Schreibweise $\sphericalangle ASB$ Mathematische Sprechweise Winkel A S B Abb. 11 / Winkel $\sphericalangle ASB$ Mathematische Schreibweise $\sphericalangle BSA$ Mathematische Sprechweise Winkel B S A Abb. 12 / Winkel $\sphericalangle BSA$ Bezeichnung durch zwei Strahlen Dabei wird der 1. Schenkel stets zuerst genannt – wie bei der Bezeichnung durch drei Punkte. Mathematische Schreibweise $\sphericalangle (a, b)$ Mathematische Sprechweise Winkel a b Abb. 13 / Winkel $\sphericalangle (a, b)$ Mathematische Schreibweise $\sphericalangle (b, a)$ Mathematische Sprechweise Winkel b a Abb. 14 / Winkel $\sphericalangle (b, a)$ Bezeichnung durch kleine griechische Buchstaben Am gebräuchlichsten sind $\alpha$ (alpha), $\beta$ (beta), $\gamma$ (gamma), $\delta$ (delta) und $\epsilon$ (epsilon).
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