15. 03. 2014, 15:39 Bernd_Michel Auf diesen Beitrag antworten » Asymptote bei einer E-Funktion berechnen? Meine Frage: Hallo liebes Forum, eine Asymptote kann waagrecht oder aber auch schief sein. Ich habe gelernt, dass eine Asymptote eine gerade ist, die sich der Kurve der E-Funktion annähert. Ich habe dazu noch gelernt, dass es dann eine Asymptote gibt, wenn: x-->+oo oder x-->-oo und e^z-->0 ist. Wenn z. B. bei einer Aufgabe x-->+oo beides existiert, gibt es keine Asymptote. Aber wie berechne ich die Asymptote anhand der Aufgabe f(x)=e^(-x)-0, 2e^x Ich komme bei der Berechnung bzw. Ermittlung nicht weiter, wie ich die Funktion der Asymptote aufstelle, also der Gerade. Kann jemand helfen? Danke Meine Ideen: Oben 15. 2014, 15:57 Bürgi RE: Asymptote bei einer E-Funktion berechnen? Hallo, bei dieser Aufgabe gibt es keine Geraden als Asymptoten, sehr wohl aber asymptotische Kurven. Unterteile den Definitionsbereich in positive und negative Werte. Bestimme nun die asymptotische Kurve für x > 0 und anschließend für x < 0 Der rot Graph gehört zu der gegebenen Funktion, die anderen Kurven sind die asympt.
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Asymptote ist. Dabei beschränken wir uns auf Asymptoten, die im Zusammenhang mit gebrochenrationalen Funktionen auftreten. Definition Eine Funktion, der sich eine andere Funktion bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung unbegrenzt nähert, heißt Asymptote. Arten Bei gebrochenrationalen Funktionen spielen folgende vier Arten eine Rolle: * Eine senkrechte Asymptote ist ein Sonderfall, da es sich dabei nicht um den Graphen einer Funktion handelt. Eine Funktion liegt nämlich nur dann vor, wenn jedem $x \in \mathbb{D}$ genau ein $y \in \mathbb{W}$ zugeordnet ist. Eine Senkrechte dagegen ordnet einem $x$ unendlich viele $y$ zu. Senkrechte Asymptote Beispiel 1 Die Gerade, der sich die Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung nähert, verläuft senkrecht (siehe rote Linie). Abb. 1 / Senkrechte Asymptote Waagrechte Asymptote Beispiel 2 Die Gerade, der sich die Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung nähert, verläuft waagrecht (siehe rote Linie).
Die Asymptote ist hier also y=-4. $\lim_{x\to -\infty} x³ \cdot e^{-2x²+1}-4=-4$, x³ geht zwar gegen unendlich aber $e^{-\infty}$ gegen 0 und somit 0-4=-4 ist. Die Asymptote ist hier also y=-4.
Die Definitionsmenge ist die Menge aller x-Werte, welche in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Wenn Du also die Werte aus der Definitionsbereich einsetzt, darf die Funktion nicht gleich Null ergeben! Der Wertebereich einer Funktion ist die Menge aller y-Werte, welche die Funktion annehmen kann. Dabei muss immer die Definitionsmenge berücksichtigt werden. Der Wertebereich gibt also alle möglichen y-Werte an, die eine Funktion annehmen kann! Bei der e-Funktion dürfen alle reellen Zahlen eingesetzt werden. Da die natürliche Exponentialfunktion nur positive Werte annimmt, sieht ihr Wertebereich wie folgt aus: In dieser Abbildung kannst Du gut erkennen, dass die e-Funktion nur positive Werte annimmt (also niemals negativ wird). Daher sind alle positiven reellen Zahlen in ihrem Wertebereich! Abbildung 2: e-Funktion Grenzverhalten Unter dem Grenzverhalten einer Funktion wird die Veränderung ihre Werte, wenn sie gegen minus unendlich oder plus unendlich geht, verstanden. Die e-Funktion zeigt folgendes Grenzverhalten: Dieses Grenzverhalten sagt aus, dass die x-Achse eine waagerechte Asymptote für die e-Funktion darstellt und die Funktion dadurch weder achsensymmetrisch noch punktsymmetrisch sein kann.
Exponentialfunktion: Asymptote und Grenzwert berechnen, Beispiel 1 | A. 41. 07 - YouTube
Bei verketteten e-Funktionen musst Du die Kettenregel anwenden: Um dies besser zu verdeutlichen, folgt nun ein Beispiel. Aufgabe 4 Berechne die Ableitung der folgenden Funktion. Lösung Jetzt wendest Du die Kettenregel an, um die Ableitung zu bilden. 1. Schritt: Äußere und innere Ableitung ermitteln. Schritt: Äußere und innere Ableitung in Kettenregel einsetzen. Ableitung der Umkehrfunktion bilden Für die Berechnung der Ableitung von der Umkehrfunktion gibt es eine bestimmte Formel, welche lautet: Um diese Formel besser zu verstehen, folgt nun ein Beispiel: Wenn Du also als Funktion gegeben hast, kannst Du die Umkehrfunktion bilden, welche die Logarithmusfunktion darstellt. Um nun die Ableitung zu berechnen, verwendest Du die obige Formel: Die Ableitung der Umkehrfunktion stellt also und nicht dar. Das kannst Du Dir damit erklären, dass der Funktionswert von an der Stelle x den Wert y darstellt! Übungsaufgabe zur e-Funktion Nun folgt eine Übungsaufgabe, mit der Du Dein Wissen festigen kannst!
Abbildung 4: y-Achsenabschnitt Das heißt, jede natürliche Exponentialfunktion besitzt diesen Schnittpunkt. Du musst jedoch beachten, dass, sobald die e-Funktion verändert wird, also mit einer Konstanten multipliziert wird, sich dieser Schnittpunkt verändert! Abbildung 5: Schnittpunkt y-Achse Das heißt, sobald es sich um keine reine e-Funktion handelt, also mehr als nur ein Argument vorhanden ist (z. B. quadratische Funktion), kann es sein, dass die Funktion die x-Achse schneidet. Aufgabe 1 Berechne die Nullstellen und den y-Achsenabschnitt der folgenden Funktion Abbildung 6: Exponentialfunktion Lösung Da keine Nullstellen liefert, beachtest Du in diesem Fall nur die Nullstellen der quadratischen Funktion. Die Nullstellen der Funktion lauten wie folgt: Die Funktionen hat eine Nullstelle bei und eine Nullstelle bei. Um jetzt den y-Achsenabschnitt der Funktion zu berechnen, setzt Du 0 als x-Wert in die Funktion ein. Das heißt, die Funktion hat einen Schnittpunkt mit der y-Achse an dem Punkt.
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