Wir haben dir ein paar Beispiele vorbereitet: Konstanten integrieren Du integrierst eine Konstante, indem du sie mit x multiplizierst und +C addierst. C steht für eine beliebige Zahl. Du brauchst die Integrationskonstante, weil es für eine Integrationsfunktion f(x) unendlich viele Stammfunktionen F(x) gibt. F(x)=3x+4 und F(x)=3x+7 sind zum Beispiel beide eine Stammfunktion von f(x)=3. Wenn du die Integrale 3x+4 und 3x+7 ableitest, bekommst du beide Male die Funktion f(x)=3. Potenzregel und Faktorregel Wie funktioniert das Aufleiten von Potenzfunktionen? Schaue dir zum Beispiel 3x 2 an. Mit der Potenzregel und der Faktorregel kannst du auch diese Stammfunktion finden: Hier ist deine Hochzahl n=2 und dein Vorfaktor a=3. Wurzelfunktion Aufleiten (Mathematik). Setze beides in deine Integrationsregel ein! Du musst also beim Aufleiten nur deinen Exponenten mit 1 addieren und die Funktion durch den neuen Exponenten n+1 teilen. Wenn Du die Stammfunktion ableitest, bekommst du wieder deine ursprüngliche Integralfunktion f(x) heraus.
Es wird einfach weggekürzt. Jetzt wird der Grenzwert berechnet. h strebt gegen Null. Am Ende haben wir nur noch welches entspricht.
Daher kannst Du Dich an die Potenzregel halten und diesen langen Rechenweg umgehen. Eine Potenzfunktion lässt sich folgendermaßen ableiten: f x = x n ⇒ f ' x = n · x n - 1 In Worten bedeutet das: Schreibe den Exponenten n der Funktion f ( x) als Multiplikation vor das x. Subtrahiere vom Exponenten 1. Die Potenzregel bei ganzzahligen Exponenten Es lassen sich zwei Typen bei der Anwendung der Potenzregel unterscheiden. Im Folgenden wird Dir an einem Beispiel erklärt, wie Du die Potenzregel bei ganzzahligen Exponenten anwenden kannst. Im nächsten Abschnitt wird die Anwendung der Potenzregel bei Brüchen besprochen. Aufgabe 2 Betrachtet wird das gleiche Beispiel von oben, also: f x = x 3 Lösung Diesmal kannst Du einfach die Potenzregel anwenden, also: f x = x 3 f ' x = 3 · x 3 - 1 = 3 x 2 Und wieder kommst Du auf das gleiche Ergebnis! Um diese Regel weiter zu festigen, folgen noch zwei weitere Beispiele. Aufleitung wurzel x p. Aufgabe 3 f x = 2 x 2 Bei dieser Aufgabe ist diesmal noch ein Vorfaktor gegeben. Diesen kannst Du aber mehr oder weniger ignorieren, indem Du die Faktorregel anwendest und diesen vorne multiplikativ stehen lässt.
Dazu wird von der allgemeinen Form der Potenzfunktion ausgegangen, also: f x = x n Nach der h-Methode berechnet sich die Ableitung einer Funktion durch: f ' x = lim h → 0 f x + h - f x h Die allgemeine Form setzt Du in die Gleichung ein. f ' x = lim h → 0 f x + h - f x h = lim h → 0 x + h n - x n h Du kannst die binomische Formel nicht eindeutig berechnen, da Du nicht weißt, welchen Wert n hat. Ableitung wurzel x youtube. In der Berechnung der Ableitung mit der h-Methode am Anfang und in der Idee der Herleitung fällt auf, dass beim Auflösen alle Summanden, die zwischen dem ersten und letzten Summanden stehen, ein h enthalten, welches Du ausklammern kannst. f ' x = lim h → 0 x + h n - x n h = lim h → 0 x n + n · x n - 1 · h + ⋯ + n · x · h n - 1 + h n - x n h Nun kannst Du x n voneinander abziehen. Im Zähler stehen also nur Summanden, die ein h enthalten, welches Du ausklammern kannst. f ' ( x) = lim h → 0 n · x n - 1 · h + ⋯ + n · x · h n - 1 + h n h = lim h → 0 h · n · x n - 1 + ⋯ + h n - 1 h Jetzt kannst Du im Zähler und Nenner das h wegkürzen und die Grenzwertsätze anwenden.
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