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Der Satz von Casorati-Weierstraß ist eine Aussage über das Verhalten holomorpher Funktionen in der Umgebung wesentlicher Singularitäten. Er besagt im wesentlichen, dass in jeder Umgebung einer wesentlichen Singularität jede komplexe Zahl durch die Werte der Funktion beliebig genau approximiert werden kann. Er ist eine deutlich einfacher zu beweisende Abschwächung des großen Satzes von Picard, der besagt, dass in jeder Umgebung einer wesentlichen Singularitäten jede komplexe Zahl bis auf möglicherweise eine Ausnahme unendlich oft als Wert auftritt. Aussage Bearbeiten Es sei offen und. Es sei eine holomorphe Funktion. Genau dann hat in eine wesentliche Singularität, wenn für jede Umgebung von: gilt. Beweis Bearbeiten Sei zunächst eine wesentliche Singularität von, angenommen, es gäbe ein, so dass nicht dicht in liegt. Dann gibt es ein und ein, so dass und disjunkt sind. Betrachte auf die Funktion. Dabei soll so gewählt werden, dass die einzige -Stelle in ist. Dies ist möglich nach dem Identitätssatz für nicht konstante holomorphe Funktionen.
Folgerungen und Verallgemeinerungen Aus dem Satz von Bolzano-Weierstraß folgt, dass jede monotone und beschränkte Folge reeller Zahlen konvergiert ( Monotoniekriterium) und dass eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall ein Maximum bzw. ein Minimum annimmt ( Satz vom Minimum und Maximum). Der Satz von Bolzano-Weierstraß ist eng verwandt mit dem Satz von Heine-Borel. Eine Verallgemeinerung beider Sätze auf topologische Räume ist folgender: Ein topologischer Raum ist genau dann ein kompakter Raum, wenn jedes Netz ein konvergentes Teilnetz hat. Basierend auf einem Artikel in: Seite zurück © Datum der letzten Änderung: Jena, den: 17. 12. 2020
Beweis [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Voraussetzung: Sei eine stetige Funktion mit und. sei die Menge aller Funktionswerte, die annimmt. Die Folgen und mit jeweils heißen zugehörig, wenn für je ein Folgenglied gilt:. bzw. sei eine durch geeignete Auswahl aus bzw. entstehende Teilfolge, wobei. A. Behauptung: Jede Folge hat eine Teilfolge, die gegen ein konvergiert. Beweis: Die zugehörige Folge ist wegen beschränkt. Mit dem Satz von Bolzano-Weierstraß lässt sich aus eine konvergente Teilfolge auswählen. Da kompakt ist, konvergiert gegen ein. Da in stetig ist, konvergiert die zugehörige Folge nach dem Folgenkriterium der Stetigkeit gegen. B. Behauptung: ist in [a, b] nach oben beschränkt. Der Beweis wird indirekt geführt. - Annahme: ist nicht nach oben beschränkt. Dann gibt es eine streng monoton steigende und (bestimmt) divergente Folge. [1] Jede Teilfolge von ist ebenfalls divergent. Das ist widersprüchlich, denn mit A. lässt sich aus eine konvergente Teilfolge auswählen. Also ist nach oben beschränkt, und hat ein Supremum.
Verallgemeinerung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Der gleiche Satz - gemäß den Fassungen (Ia) oder (Ib) - gilt auch noch, wenn anstelle eines kompakten reellen Intervalls ein beliebiger kompakter topologischer Raum zugrundegelegt wird: Stetige Bilder von kompakten topologischen Räumen unter reellwertigen Funktionen sind innerhalb der reellen Zahlen stets abgeschlossen und beschränkt. [4] [5] [6] Tatsächlich kann diese Aussage noch weiter verallgemeinert werden: Das Bild eines kompakten topologischen Raums unter einer stetigen Funktion ist wieder kompakt. Da kompakte Teilmengen von metrischen Räumen (insbesondere also von) immer abgeschlossen und beschränkt sind, folgt sofort die obige Aussage. Da auch die Bilder zusammenhängender topologischer Räume unter stetigen Funktionen wieder zusammenhängend sind und die zusammenhängenden Teilmengen von gerade die Intervalle sind, stellt sich auch die Fassung (II) als Spezialfall eines allgemeinen topologischen Sachverhalts dar. Quellen und Hintergrundliteratur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Otto Forster: Analysis 2 (= Grundkurs Mathematik).