Karmelitenstraße 43 97070 Würzburg Zielgruppe Personen mit Anspruch auf Sozialhilfe Arbeitsfelder Hilfe zum Lebensunterhalt, Grundsicherung im Alter und bei voller Erwerbsminderung auf Dauer, Hilfen in anderen Lebemnslagen Berufsbezeichnungen der Mitarbeiter/innen Sozialpädagogen/-innen Noch kein Logo hinzugefügt Kategorie Beratungsangebote von Behörden Standort Stadt Würzburg Örtliche Zuständigkeit Stadt Würzburg Rollstuhlgerechter Zugang Ja Träger Stadt Würzburg Di. 08:30 - 12:00 14:00 - 16:30 Do. 08:30 - 12:00 14:00 - 16:30
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Das harmonische Mittel ist ein Mittelwert einer Menge von Zahlen. Es war schon Pythagoras bekannt. Es ist der Spezialfall des Hölder-Mittels mit Parameter −1. Definition Das harmonische Mittel der Zahlen ist als definiert. Der Kehrwert des harmonischen Mittels ist und somit das arithmetische Mittel der Kehrwerte. Mit der Formel ist das harmonische Mittel zunächst nur für von null verschiedene Zahlen definiert. Geht aber einer der Werte gegen null, so existiert der Grenzwert des harmonischen Mittels und ist ebenfalls gleich null. Harmonisches mittel formel et. Daher ist es sinnvoll, das harmonische Mittel als null zu definieren, wenn mindestens eine der zu mittelnden Größen gleich null ist. Eigenschaften Für zwei Werte und ergibt sich mit dem arithmetischen Mittel und dem geometrischen Mittel. Für nichtnegative gilt Beispiel Für das harmonische Mittel von gilt. Verwendet man die Formel aus dem Abschnitt Eigenschaften, so gilt. Gewichtetes harmonisches Mittel Sind den positive Gewichte zugeordnet, so ist das gewichtete harmonische Mittel wie folgt definiert: Sind alle gleich, so erhält man das gewöhnliche harmonische Mittel.
Achtung: Geometrischen Mittel und Arithmetisches Mittel sind hiervon abzugrenzen.
Weitere Eigenschaften [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die weiteren Eigenschaften der harmonischen Funktionen sind größtenteils Konsequenzen der Mittelwerteigenschaft. Maximumprinzip: Im Innern eines zusammenhängenden Definitionsgebietes nimmt eine harmonische Funktion ihr Maximum und ihr Minimum nie an, außer wenn sie konstant ist. Besitzt die Funktion zudem eine stetige Fortsetzung auf den Abschluss, so werden Maximum und Minimum auf dem Rand angenommen. Glattheit: Eine harmonische Funktion ist beliebig oft differenzierbar. Dies ist insbesondere bei der Formulierung mit Hilfe der Mittelwerteigenschaft bemerkenswert, wo nur die Stetigkeit der Funktion vorausgesetzt wird. Harmonisches Mittel. Abschätzung der Ableitungen: Sei harmonisch in. Dann gilt für die Ableitungen wobei das Volumen der -dimensionalen Einheitskugel bezeichnet. Analytizität: Aus der Abschätzung der Ableitungen folgt, dass jede harmonische Funktion in eine konvergente Taylorreihe entwickelt werden kann. Satz von Liouville: Eine beschränkte harmonische Funktion ist konstant.