Antworten: #7, ' '14, ' '21, ' '28, ' '35# sind Vielfache von #7# Erläuterung: Multiplizieren ist eine kurze Möglichkeit, wiederholte Additionen zu zeigen. Die Antworten, die durch das Hinzufügen immer derselben Zahl erhalten werden, geben uns die Vielfachen dieser Zahl. # 7 = 7xx 1 = 7 # # 7 + 7 = 2xx7 = 14 # # 7 + 7 + 7 = 3xx7 = 21 # # 7 + 7 + 7 + 7 + = 4xx7 = 28 # # 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 xx 7 = 35 # #7, ' '14, ' '21, ' '28, ' '35# sind Vielfache von #7#
Der Mathematische Monatskalender: Eudoxos von Knidos (408–355 v. Chr. ) Eudoxos lehrte seine Zeitgenossen den Umgang mit den damals neuen und erschreckenden irrationalen Zahlen. © Andreas Strick (Ausschnitt) Auch wenn man von seinen mathematischen Werken noch nicht einmal die genauen Titel kennt und von seinen übrigen Schriften nur Fragmente überliefert wurden, kann man sagen, dass Eudoxos von Knidos einer der bedeutendsten Mathematiker der Antike war. Bekannt ist, dass der in Knidos (Kleinasien) geborene Wissenschaftler nach Tarent (griechische Kolonie in Süditalien) reist, um dort bei Archytas, einem der Nachfolger des Pythagoras, erste mathematische Studien zu betreiben. Natürliche Zahlen unter 100 ermitteln, die Vielfache von 3 und 4 sind | Mathelounge. Auf Sizilien erwirbt er bei Philiston medizinische Kenntnisse, in Athen besucht er vermutlich die Vorlesungen des Platon und anderer Philosophen der Akademie, in Heliopolis (Ägypten) lässt er sich von den Priestern in die Techniken der astronomischen Beobachtung einführen. Danach gründet er in Kyzikos, einer an der Südküste des Marmara-Meers gelegenen griechischen Kolonie, eine eigene Schule und sammelt zahlreiche Studenten um sich.
Beispielsweise kann das Verhältnis der Länge einer Diagonale eines Quadrats zur Seitenlänge des Quadrats nicht durch das Verhältnis zweier natürlicher Zahlen beschrieben werden. Eudoxos findet einen genialen Weg, mit diesem Problem umzugehen. Euklid übernimmt später (um das Jahr 300 vor Christus) die Proportionenlehre des Eudoxos als Buch V der Elemente. Zunächst definiert Eudoxos, was unter einem Verhältnis zu verstehen ist: Ein Verhältnis ist die Beziehung zweier vergleichbarer Dinge der Größe nach (V. Primzahlen - Vielfache und Teiler, Teilbarkeit und Zerlegung in Primfaktoren. 3). Ein Verhältnis gibt an, wie oft die erste Größe die zweite übertrifft, wenn es mit der zweiten vervielfacht wird (V. 4). Dann erfolgt die – auf den ersten Blick – kompliziert erscheinende, jedoch äußerst geschickte Definition V. 5: Größen stehen im gleichen Verhältnis, die erste zur zweiten wie die dritte zur vierten, wenn für beliebige, aber gleiche Vielfache der ersten und der dritten Größe und für beliebige, aber gleiche Vielfache der zweiten und vierten Größe gilt, dass die paarweise betrachteten Vielfachen entweder beide größer oder beide gleich oder beide kleiner sind.
Um 368 besucht er Athen ein zweites Mal, begleitet von seinen Schülern, und kehrt anschließend als angesehener Bürger in seine Geburtsstadt Knidos zurück, wo er ein Observatorium errichtet. Seine astronomischen Beobachtungen bilden die Grundlage für (mindestens) ein Werk, das Hipparchos von Rhodos (190 – 120 vor Christus) zu seinen Untersuchungen und Überlegungen dient, wie dieser dankbar berichtet. Durch Aristoteles (384 – 322 vor Christus) ist überliefert, dass Eudoxos ein System zur Beschreibung der Planetenbewegungen entwickelt hat. Dieses besteht aus 27 Sphären, in deren Mittelpunkt sich die Erde befindet. Auch verfasst Eudoxos ein aus sieben Bänden bestehendes Werk zur Geografie, in dem er die Länder und Völker der bekannten Welt beschreibt, die politischen Systeme in diesen Ländern erläutert und über die religiösen Vorstellungen der Völker berichtet. Vielfache von 12 5. Auch dieses Werk ist verschollen, wird aber von zahlreichen später lebenden Autoren der Antike zitiert. Die Entdeckung des Pythagoräers Hippasos von Metapont, dass nicht alle in der Geometrie auftretenden Größen kommensurabel sind, also mit einem gemeinsamen Maß messbar, hatte um das Jahr 500 vor Christus die bis dahin geltende Lehrmeinung "Alles ist Zahl" erschüttert.
Du kannst eine ganze Zahl vervielfachen, indem du sie mit einer beliebigen ganzen Zahl multiplizierst. Wenn du die Zahl 12 mit 2 oder 3 multiplizierst, erhältst du das Vielfache 24 (12 · 2) bzw. 36 (12 · 3). Wenn du nun die Zahl 18 mit 2 oder 3 multiplizierst, erhältst du das Vielfache 36 (18 · 2) bzw. 54 (18 · 3). Diese beiden Zahlen haben jeweils Vielfache, die bei beiden Zahlen vorkommen. Diese Vielfache werden als gemeinsame Vielfache bezeichnet. Bei den Zahlen 12 und 18 wären die gemeinsamen Vielfachen 36, 72 und 108. Ein besonderes und wichtiges dieser Vielfachen ist das Vielfache 36. Vielfache von 13 ans. Es stellt das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 12 und 18 dar. Dieses Vielfache wird auch kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) genannt. Du benötigst es in der Bruchrechnung bei der Hauptnennersuche. Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen ist die kleinste natürliche Zahl, die ein Vielfaches von beiden Zahlen ist. Wenn du das kleinste gemeinsame Vielfache berechnen sollst, benötigst du die Primfaktorenzerlegung.
6:2=3 Rest 0 12 → 2· 2 3. Teile nun die 3 erneut durch die 1. Primzahl: 3: 2 = 1 Rest 1. Die 3 ist nicht ganzzahlig durch 2 teilbar. 3:2=1 Rest 1 12 → 2·2 4. Daher teilen wir die 3 durch die 2. Primzahl, die 3: 3: 3 = 1 Rest 0. Die 3 ist auch ganzzahlig durch 3 teilbar, du hast damit den dritten Primfaktor gefunden: die 3! 3:3=1 Rest 0 12 → 2·2· 3 5. Übrig bleibt noch die 1, damit bist du mit der Primfaktorenzerlegung fertig. Die Zahl 12 besteht daher aus den Primfaktoren 2 · 2 · 3. 12 → 2·2·3 6. Zerlege deine zweite Zahl in ihre Primfaktoren. Primzahl, die 2: 18: 2 = 9 Rest 0. Die 18 ist ganzzahlig durch 2 teilbar, du hast damit den ersten Primfaktor gefunden: die 2! 18:2=9 Rest 0 18 → 2 7. Teile nun die 9 erneut durch die 1. Primzahl: 9: 2 = 4 Rest 1. Die 9 ist nicht ganzzahlig durch 2 teilbar. Vielfache von 13 mai. 9:2=4 Rest 1 8. Daher teilen wir die 9 durch die 2. Primzahl, die 3: 9: 3 = 3 Rest 0. Die 9 ist ganzzahlig durch 3 teilbar, du hast damit den zweiten Primfaktor gefunden: die 3! 9:3=3 Rest 0 18 → 2· 3 9.
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