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Ist diese gleich $0$, dann sind die Vektoren linear abhängig. Um dies einmal zu üben, schauen wir uns noch einmal die Vektoren \end{pmatrix}~\text{sowie}~\vec w=\begin{pmatrix} an. Nun muss die Determinante der Matrix det$\begin{pmatrix} 1& 1 \\1&3 \end{pmatrix}$ berechnet werden. Hierfür gehst du wie folgt vor: Du multiplizierst die Elemente der Hauptdiagonalen von oben links nach unten rechts und subtrahierst davon das Produkt der Elemente der Nebendiagonalen von unten links nach oben rechts. Kollinear vektoren überprüfen. Somit ergibt sich det$\begin{pmatrix} 1& 1 \\1&3 \end{pmatrix}=1\cdot 3-1\cdot 1=3-1=2\neq 0$ und damit die lineare Unabhängigkeit der beiden Vektoren $\vec v$ sowie $\vec w$. Alle Videos zum Thema Videos zum Thema Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit (25 Videos) Alle Arbeitsblätter zum Thema Arbeitsblätter zum Thema Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit (2 Arbeitsblätter)
Einsetzen von $\beta=0$ in die obere Gleichung führt zu $\alpha=0$. Also sind die beiden Vektoren $\vec u$ und $\vec v$ linear unabhängig. Beispiel für lineare Abhängigkeit Linear abhängig sind zwei Vektoren, dies gilt in jedem Vektorraum, wenn der eine Vektor sich als Vielfaches des anderen Vektors schreiben lässt. Man nennt die Vektoren dann auch kollinear. Komplanare und nichtkomplanare Punkte (und Vektoren) in Mathematik | Schülerlexikon | Lernhelfer. Nun untersuchen wir die drei Vektoren $\vec u$, $\vec v$ sowie $\vec w$ auf lineare Abhängigkeit oder Unabhängigkeit. Hierfür prüfen wir, ob der Vektor $\vec w$ sich als Linearkombination der beiden linear unabhängigen Vektoren $\vec u$ sowie $\vec v$ schreiben lässt: $\begin{pmatrix} \end{pmatrix}= \alpha\cdot \begin{pmatrix} Dies führt zu den folgenden Gleichungen $\alpha+\beta=1$ sowie $-\alpha+\beta=3$. Addition der beiden Gleichungen führt zu $2\beta=4$, also $\beta =2$. Setzt du dieses $\beta$ in die obere Gleichung ein, erhältst du $\alpha+2=1$, also $\alpha=-1$. Das bedeutet, dass sich der Vektor $\vec w$ tatsächlich als Linearkombination der beiden Vektoren $\vec u$ sowie $\vec v$ schreiben lässt.
Hier nun die Formel... ; Argumente: 2 dreikomponentige Vektoren; Rückgabe: Vektor (Vektorprodukt) ( defun:M-VectorProduct (#v1 #v2) ( list ( - ( * ( cadr #v1) ( caddr #v2)) ( * ( caddr #v1) ( cadr #v2))) ( - ( * ( caddr #v1) ( car #v2)) ( * ( car #v1) ( caddr #v2))) ( - ( * ( car #v1) ( cadr #v2)) ( * ( cadr #v1) ( car #v2))))) 3. Schritt - Funktion zur Ermittlung von kollinearen Punkten Das ist nun keine große Kunst mehr. ; Argumente: 3 3D-Punkte; Rückgabe: True= kollinear, sonst nil ( defun:M-Collinear (#p1 #p2 #p3 /) ( equal '( 0. 0) (:M-VectorProduct (:M-GetVector #p1 #p2) (:M-GetVector #p1 #p3)) 1. 0e-010)) Falls 3 Punkte auf einer Geraden liegen gibt die Funktion ein True zurück, ansonsten nil. Durch equal können wir einen Genauigkeitswert vergeben. Hier in unserer Funktion enspricht 1. 0e-010 = 0. 0000000001 Beispiel: (:M-Collinear '(0. 0) '(3. 15 0. 0) '(2. 0)) => T Zum Schluss überlegen wir, wie wir aus einer Liste mit Punktkoordinaten prüfen können, ob alle Punkte zueinander Kollinear sind.