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Kategorie: Kurvendiskussion Punkt- und Achsensymmetrie: Um zu entscheiden, ob der Graph einer Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist, wird die Variable x durch (-x) in der gesamten Funktionsgleichung ersetzt. Daraus ergeben sich folgenden Möglichkeiten a) Achsensymmetrie zur y-Achse/zur Geraden b) Punktsymmetrie zum Ursprung/zu einem Punkt Achsensymmetrisch zur y-Achse: Wenn wir Variable x durch (-x) ersetzen und das Ergebnis ist: f (x) = f (- x) dann ist die gegebene Funktion symmetrisch zur y-Achse. Allgemein - Symmetrie zur Geraden: Der Graph einer Funktion f ist genau dann achsensymmetrisch zur Geraden mit der Gleichung x = a, wenn für alle x die Gleichung gilt f (a - x) = f (a + x) Durch Substitution von x mit x - a erhält man die äquivalente Bedingung f (2a - x) = f (x) Punktsymmetrisch zum Ursprung: Wenn wir die Variable x durch (-x) ersetzen und das Ergebnis ist f (- x) = - f (x) dann ist die gegebene Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.
Das Standard-Beispiel ist f(x)=x². Eine Funktion f ist punktsymmetrisch bezüglich des Nullpunkts, wenn f(x)=-f(-x) für alle x-Werte des Definitionsbereichs gilt. Das Standard-Beispiel ist f(x)=x³. Zwei aufwändigere Beispiele. Unter den Relationen F(x, y)=0 findet man solche mit Graphen, die achsen- und zugleich punktsymmetrisch sind. Sie sind achsensymmetrisch bezüglich der x- und y-Achse und punktsymmetrisch bzgl. des Nullpunkts. Achsen- und punktsymmetrische Figuren. Es gilt F(x, y)=F(-x, -y) Symmetrische Körper Wenn man ein Quadrat wie in den Zeichnungen angegeben faltet, gelangt man zu zwei symmetrischen Körpern. (1) Seite 210f. und 219f....... Martin Gardner schreibt in (1): "Ich habe einmal behauptet, dass ein dreidimensionaler Körper, der keine Symmetrieebene hat,... nicht mit seinem Spiegelbild zur Deckung gebracht werden könne... Diese Aussage ist falsch! " Der nebenstehende Körper ist drehsymmetrisch der Ordnung 2 und nicht spiegelsymmetrisch. Er geht trotzdem in sich selbst über, wenn man ihn an der Quadratebene spiegelt.
Sind zwei Punkte P und P´ punktsymmetrisch bzgl. eines Zentrums Z, so wird ihre Verbindungsstrecke von Z halbiert. Der Punkt P soll am Zentrum Z gespiegelt werden. Gegeben sind die Punkte P und P´. Konstruiere das Zentrum Z der Punktspiegelung, die P auf P´ abbildet.
Schlagwörter: Symmetrie, Funktionen, Graphen, Punktsymmetrie, punktsymmetrisch, Achsensymmetrie, achsensymmetrisch, Achsenspiegelung, Punktspiegelung, gerade Funktionen, ungerade Funktionen Der Begriff der Symmetrie ( altgriechisch "symmetria – Ebenmaß") bezeichnet eine geometrische Eigenschaft. Bei der Betrachtung von Funktionen und ihren Graphen sind die Achsensymmetrie und die Punktsymmetrie eine zentrale Eigenschaft. Achsensymmetrie und Punktsymmetrie - Studimup.de. Achsenspiegelungen und Punktspiegelungen sind Kongruenzabbildungen. Durch eine Geradenspiegelung an der y-Achse wird die Funktion auf sich selbst abgebildet. Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur Ordinate (y-Achse), wenn für alle x ∈ DB gilt: f(-x) = f(x) Durch eine Punktspiegelung am Punkt P(0/0) wird die Funktion auf sich selbst abgebildet. Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, wenn für alle x ∈ DB gilt: f(-x) = -f(x) Achsen – und Punktsymmetrie für ganzrationale Polynome n-ten Grades GeoGebra-selbstständiges Erarbeiten In der folgenden GeoGebra Animation sollt ihr die Parameter (a, b, c, d, e) so anpassen, dass der Graph der Funktion entweder achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch ist.