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Kategorie: Arithmetische Folge Übungen Aufgabe: Arithmetische Folge Übung 4 a) Berechne a 21 von folgender arithmetischer Folge 〈8, 19, 30, 41,... 〉 b) Berechne a 37 von folgender arithmetischer Folge 〈- 6, - 11, - 16, - 21,... 〉 Lösung: Arithmetische Folge Übung 4 a) Lösung a 1. Schritt: Wir bestimmen die Variablen a 1 = 8 d = 11 (Berechnung: a 2 - a 1 d. f. 19 - 8 = 11) n = 21 a 21 =? 2. Schritt: Wir berechnen a 21: a n = a 1 + (n - 1) * d a 21 = 8 + (21 - 1) * 11 a 21 = 228 A: Das 21. Glied der arithmetischen Folge ist 228. b) Lösung: a 1 = - 6 d = - 5 (Berechnung: a 2 - a 1 d. -11 - (-6) = -5) n = 37 a 37 =? 2. Schritt: Wir berechnen a 37: a 37 = -6 + (37 - 1) * (-5) a 37 = -186 A: Das 37. Glied der arithmetischen Folge ist -186.
Lösung der Teilaufgabe a): In jeder Reihe liegt ein Rohr weniger als in der vorhergehenden. Damit ergibt sich die (endliche) Zahlenfolge ( a n) = { 12; 11;... ; 2; 1}. Hierbei handelt es sich um eine arithmetische Folge mit a 1 = 12; d = − 1 und n = 12. Gesucht ist s 12. Für die Summe s 12 gilt: s n = n 2 ( a 1 + a n) s 12 = 6 ⋅ ( 12 + 1) = 78 Es können 78 Rohre gestapelt werden. Lösung der Teilaufgabe b): Es gilt s n ≥ 140; d = − 1 und a 1 = n. Dann folgt: s n = n 2 ( n + 1) = n 2 + n 2 ≥ 140 Das führt auf die quadratische (Un-)Gleichung n 2 + n − 280 ≥ 0 mit den formalen Lösungen n 1; 2 ≥ − 0, 5 ± 180, 25. Da n eine natürliche Zahl sein muss, erhalten wir als (einzige) Lösung n = 17. Anmerkung: Für die Summe s n der ersten n natürlichen Zahlen gilt s n = n 2 + n 2. Beispiel 2 In einem Zirkuszelt befinden sich in der ersten Sitzreihe 80 Plätze, in jeder der darüber angeordneten Reihen jeweils sechs Plätze mehr. Insgesamt gebt es zehn Sitzreihen. Wie viel Plätze sind im Zelt? Lösung: Es handelt sich um eine arithmetische Folge mit a 1 = 80; d = 6 und n = 10, und es gilt: s n = n 2 [ 2 a 1 + ( n − 1) ⋅ d] s 10 = 5 ( 2 ⋅ 80 + 9 ⋅ 6) = 5 ⋅ 214 = 1070 Im Zelt gibt es 1070 Plätze.
1. a) Verdacht: geometrische Folge Zu zeigen: Es handelt sich um eine geometrische Folge, weil der Quotient von aufeinanderfolgenden Folgegliedern immer gleich ist. b) Verdacht: arithmetische Folge Es handelt sich um eine arithmetische Folge, weil die Differenz von aufeinanderfolgenden Folgegliedern immer gleich ist. c) Verdacht: Weder noch und Es handelt sich nicht um eine arithmetische Folge, weil die Differenz von aufeinanderfolgenden Folgegliedern abhängig von und nicht immer die selbe Zahl ist. Es handelt sich nicht um eine geometrische Folge, weil der Quotient von aufeinanderfolgenden Folgegliedern abhängig von und nicht immer die selbe Zahl ist. d) e) f) g) 2. Für geometrische Folgen gilt die allgemeine Gleichung. Für arithmetische Folgen gilt die allgemeine Gleichung. Jedes Folgeglied wird dadurch gebildet, dass sein Vorgänger verdreifacht wird. Es handelt sich also um eine geometrische Folge. Der Anfangswert lautet. Jedes Folgeglied wird dadurch gebildet, dass sein Vorgänger um 2 erhöht wird.
Durch Angabe der Differenz d und des Anfangsgliedes a 1 ist die gesamte Folge bestimmt, denn es gilt: a n = a 1 + ( n − 1) d Beispiel 1: Gegeben: a 1 = 3; d = 4 Gesucht: a 27 Lösung: a 27 = a 1 + 26 ⋅ d = 3 + 26 ⋅ 4 = 107 Auch durch Angabe eines beliebigen Gliedes a i und der Differenz d ist die arithmetische Folge eindeutig bestimmt. Beispiel 2: Gegeben: a 7 = 33; d = 5 Gesucht: a 1 Lösung: a 1 = a 7 − 6 ⋅ d = 33 − 30 = 3 Kennt man das Anfangsglied a 1 und ein beliebiges anderes Glied einer arithmetischen Folge, kann man die Differenz berechnen. Es gilt: Beispiel 3: Gegeben: a 1 = 2, 5; a 9 = 12, 5 Gesucht: d Lösung: d = a 9 − a 1 8 = 10 8 = 5 4 = 1, 25 Kennt man zwei beliebige Glieder einer arithmetischen Folge, kann man daraus das Anfangsglied a 1 und die Differenz d berechnen, indem das entsprechende Gleichungssystem mit zwei Unbekannten gelöst wird. Beispiel 4: Gegeben: a 3 = − 3; a 8 = 22 Gesucht: a 1; d Lösung: a 3 = a 1 + 2 d = − 3 a 8 = a 1 + 7 d = 22 ¯ 5 d = 25 ⇒ d = 5 a 1 = − 13 Eine arithmetische Folge ist genau dann monoton wachsend (steigend), wenn d > 0 ist, sie ist genau dann monoton fallend, wenn d < 0 ist.
Auf dieser Seite findet man Aufgaben zu Folgen. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden, also z. B. #123. Die Aufgaben werden bei jedem Laden der Seite neu generiert. Bei den meisten Aufgaben bedeutet dies, dass sich Werte in der Angabe verändern. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf die selbe Aufgabe zugreifen, so sollte ein Screenshot angefertigt werden. Hinter den Eingabefeldern wird jeweils die Anzahl an Nachkommastellen angegeben. Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen können bei vielen Aufgaben die Lösungen eingeblendet werden. Sollte Ihnen bei einer Aufgabe ein Fehler auffallen, so melden Sie diesen bitte. 1. Monotonie Gegeben ist die Folge $a_n= 661 n^2-4 n^3$. Diese Folge ist zunächst streng monoton wachsend, was sich jedoch ab einem bestimmten Folgenglied ändert. Ab welchem $n$ gilt $ a_n < a_{n-1} $? Ergebnis: [0] Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.