Klassenstufe 12 - Vektoren, Geraden und Ebenen Vektoren Koordinatensystem mit 3 Achsen Geraden Parametergleichung einer Geraden, Gerade durch 2 Punkte angeben Punktprobe und Punkte auf Geraden finden Lagebeziehung von Geraden Lagebeziehung von Geraden (über lineare Unabhängigkeit) Schnittpunkt zweier Geraden berechnen Gegenseitige Lage von Vorlage um die gegenseitige Lage von Geraden zu berechnen. Geradengleichungen eingeben und Lösung incl. Rechenweg angezeigt bekommen In der PDF-Version sind nur 4 Beispiele zu sehen.
Die Differenz zweier Punkte ergibt einen Verschiebungsvektor. Abstand Gerade Gerade • Berechnungsschritte + Beispiele · [mit Video]. Die Länge des Verschiebungsvektors ist gerade der Abstand zwischen den beiden Punkten. $$ \vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \, \, \, \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} Mit Hilfe des Pythagoras: d = \sqrt{(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2 + (a_3 - b_3)^2} Mit Hilfe des Skalarproduktes: d^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) Beispiel Bestimmen Sie den Abstand zwischen den beiden Punkten A(5|12|-5) und B(3|1|5). Der Verschiebungsvektor: \vec{c} = \begin{pmatrix} 5 \\ 12 \\ -5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 11 \ -10 \end{pmatrix} Methode 1: Pythagoras \begin{array}{rcl} d &=& \sqrt{ 2^2 + 11^2 (-10)^2} \\ &=& \sqrt{ 4 + 121 + 100} \\ &=& \sqrt { 225} \\ &=& 15 \end{array} Methode 2: Skalarprodukt d^2 &=& \vec{c} \cdot \vec{c} \\ &=& \begin{pmatrix} 2 \\ 11 \ -10 \end{pmatrix} \cdot \\ &=& 2 \cdot 2 + 11 \cdot 11 + (-10) \cdot (-10) \\ &=& 225 \\ d &=& 15 $$
t ergibt sich zu -12/5 und der Schnittpunkt lautet (7. 6, -1, 0. 8)
Wegen des Quadrierens macht das keinen Unterschied: der Abstand der Punkte ist natürlich gleich. Beispiel 2: Die Punkte $P(-2|3|0)$ und $Q(1|u|3)$ sollen den Abstand 5, 5 haben. Wie muss $u$ gewählt werden? Lösung: Der Abstand enthält eine Unbekannte: $\begin{align*} d(P, Q)&= \sqrt{(1-(-2))^2+(u-3)^2+(3-0)^2}\\ & =\sqrt{9+(u-3)^2+9} \end{align*}$ Mit der Forderung $d(P, Q)=5{, }5$ erhalten wir eine Gleichung. Abstand zweier punkte vektoren in google. Wenn man die binomische Formel auflöst, lässt sich die Gleichung mithilfe der $pq$-Formel lösen. Es geht aber auch direkt: $\begin{align*} \sqrt{9+(u-3)^2+9} &=5{, }5 & & |(\ldots)^2\\ 9+(u-3)^2+9 &=30{, }25 & & |-9-9\\ (u-3)^2 &=12{, }25 & & |\sqrt{\phantom{9}}\\ u-3 &=3{, }5 & & \text{ oder} &u-3&=-3{, }5 & |+3\\ u_1 &=6{, }5 & & &u_2&=-0{, }5\\ \end{align*}$ Die Punkte $Q_1(1|6{, }5|3)$ und $Q_2(1|-0{, }5|3)$ erfüllen somit die Bedingung. Die folgende Skizze stellt die Situation graphisch dar. Die Punkte $Q_1$ und $Q_2$ liegen in zwei nebeneinanderliegenden, gleich großen Quadern und $P$ in der gemeinsamen Seitenfläche der Quader.
Dadurch erhalten wir den Verbindungsvektor des Aufpunkts der Gerade und dem Punkt. Schritt 2 Im nächsten Schritt müssen wir das Kreuzprodukt aus dem gerade berechneten Vektor und dem Richtungsvektor der Geraden bestimmen. Bildet man das Kreuzprodukt zweier Vektoren, wird ein Vektor erzeugt, der senkrecht auf diesen steht. Kreuzprodukt allgemein: Für unser Beispiel setzen wir jetzt den zuvor berechneten Vektor und ein. Schritt 3 Den Abstand berechnen wir nun, indem wir den Betrag des Kreuzproduktes durch den Betrag des Richtungsvektors der Geraden teilen. Abstand zweier punkte vektoren in 2019. Der Abstand zwischen und beträgt also ungefähr 3, 59 Längeneinheiten. Abstand Punkt Gerade – Beispiel Aufgabe: Gesucht ist der Abstand von Punkt T () und der Geraden. Tipp Bevor du mit dem Rechnen loslegst, solltest du immer überprüfen, ob der Punkt schon auf der Geraden liegt. Dann wäre der Abstand logischerweise Null. Um unnötigen Rechenaufwand zu vermeiden, solltest du zuerst die folgenden drei Schritte durchführen: Schritt 0 1. Punkt für in einsetzen 2.
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