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Es gilt also, das der Faktor vor der Klammer erst mit dem 1. Summanden \( (x-3, 5)^2 \) und dann mit dem 2. Summanden \( -12, 25 \) multipliziert wird. \( \begin{align*} &= \color{red}{- 5} \cdot [ \underbrace{\color{orange}{(x-3, 5)^2}}_{} \underbrace{\color{orange}{-12, 25}}_{}] + 8 \\[0. 8em] &= \color{red}{- 5} \cdot \color{orange}{(x-3, 5)^2} \color{red}{-5} \cdot (\color{orange}{-12, 25}) + 8 \end{align*}\) Der komplette Term wird nun noch soweit wie möglich vereinfacht. Dazu rechnet man die letzten drei Terme zusammen. \( \begin{align*} &=-5 \cdot (x-3, 5)^2 \color{red}{-5 \cdot (-12, 25) + 8} \\[0. Extremwertaufgabe mittels quadratischer Ergänzung lösen - lernen mit Serlo!. 8em] &= -5 \cdot (x-3, 5)^2 \color{red}{+ 69, 25} \end{align*}\) Nun ist der Term vollständig in die Scheitelform umgeformt und der Extremwert lässt sich auslesen. Das Maximum/Minimum erkennt man am Faktor vor der Klammer (wenn < 0 dann Maximum, wenn > 0 dann Minimum), der entsprechende maximale/minimale Termwert erhält man von der Zahl ohne Variable und den zugehörigen Wert von x erhalten wir vom Gegenwert der Zahl aus der Klammer.
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Beim direkten Vergleich sieht man allerdings auch sofort, welcher Zahl das \( b \) entspricht und was dementsprechend \( b^2 \) ist. \( \begin{align*} = -5 \cdot [&\color{red}{x}^2 &- 2 \cdot &\color{blue}{3, 5} &\cdot \color{red}{x} & &]+ 8 \\[0. 8em] &\color{red}{a}^2 &- 2 \cdot &\color{blue}{b} &\cdot \color{red}{a} &+ \color{blue}{b}^2 & \end{align*}\) Es ist nun bekannt, welcher Term fehlt, um die binomische Formel zu vervollständigen. Diesen fehlenden Term darf man aber nicht einfach dazuaddieren, ohne dass dabei der Termwert verändert wird. Deswegen geht man folgender Überlegung nach: Addiert man zu einem Term die \( 0 \), so verändert sich der Termwert nicht. Extremwertbestimmung durch Quadratisches Ergänzen? (Schule, Mathe). \( 0 \) kann man wiederum umschreiben, indem man eine beliebige Zahl von sich selbst abzieht. Also \( Zahl - Zahl = 0 \) Wählt man diese beliebige Zahl so, dass sie dem fehlenden Term der binomischen Formel entspricht, kann man die eckige Klammer also so ergänzen, dass man eine binomische Formel erhält, ohne dass sich der Termwert ändert.
Extremwerte Ein quadratischer Term besitzt einen kleinsten oder größten Termwert. Diese so genannten Extremwerte werden Minimum bzw. Maximum genannt. Beispiel für einen quadratischen Term mit einem Minimum Es liegt folgender Term vor: $$T(x)=(x+2)^2-1$$. Hier eine Wertetabelle für den Term: $$x$$ $$-4$$ $$-3$$ $$-2$$ $$-1$$ $$0$$ $$1$$ $$T(x)$$ $$3$$ $$0$$ $$-1$$ $$0$$ $$3$$ $$8$$ Der Graf hat folgendes Aussehen: Das Minimum wird dann in folgender Form angegeben: $$T_(min)(-2|-1)$$. Man sagt auch $$T_(min)=-1$$ für $$x=-2$$. Vergleiche das Minimum mit dem gegebenen Term. Aus der Darstellung kannst Du genau ablesen, um welchen Extremwert es sich handelt: Vor der Klammer steht ein Pluszeichen. Hier liegt ein Minimum vor, denn für jedes $$x$$ liefert das Quadrieren Werte, die größer oder gleich Null sind. Wann wird die Klammer genau 0? Für $$x+2=0$$, also $$x = -2$$. Der Funktionswert des Minimums entspricht der Zahl hinter der binomischen Formel, denn $$T(-2)=0^2 -1=-1$$ und somit $$T_(min)=-1$$.