Die Ableitungsfunktion ist schlussendlich nichts anderes als den Differenzenquotienten... Du hast eine Funktion f(x). Angenommen du suchst jetz die Ableitung der Funktion x0, also f'(x0). Nun nehmen wir eine Sekante der Funktion an, welche durch den Punkt f(x0) und f(x0+h) geht (Falls dir de Begriff Sekante nichts sagt, das ist einfach eine Gerade welche durch zwei Punkte der Funktion geht). Die Steigung dieser Sekante ist dann: ( f(x0+h) - f(x0)) / ( (x0+h) - x(0)) => ( f(x0+h) - f(x0)) / h Ich hoffe, du weisst wie man die Steigung von zwei Punkten ausrechnet, mehr habe ich oben nämlich nicht gemacht. Die x0 im Nenner kann man streichen weil x0+h-x0 = h. So, was haben wir nun. Im Zähler eine Differenz und das ganze ein Bruch: Ein DIFFERENZENquotient. :) Nun haben wir also die Steigung durch zwei Punkte einer Gleichung. Die Steigung einer Tangente (sprich die Ableitung) einer Funktion ist dann dasselbe, wie wenn diese zwei Punkte unendlich nahe aneinander liegen. Wenn sich also die zwei Punkte immer näher kommen, nähert sich die Steigung dieser Geraden der Ableitung.
Man bekommt damit nicht die "absolute" Steigung einer Kurve. Dazu benötigt man einen weiteren Schritt, der uns zum Differentialquotienten führt. Über den Differentialquotienten kann man die Steigung einer Kurve an einem beliebigen Punkt berechnen. Der Differentialquotient ist eine Grenzwertbildung des Differenzenquotienten. Nun wollen wir noch einige Beispiele berechnen. This browser does not support the video element. Beispiele Beispiel 1 Gegeben Sei die Funktion f(x)=\frac{1}{2}x^2 und die Punkte P_1&\text{ bei} x_1=1\\ P_2&\text{ bei} x_2=2\\ Berechne die mittlere Steigung der Funktion zwischen den zwei Punkten. Lösung Die Steigung der Funktion zwischen den zwei Punkten bekommen wir über den Differenzenquotienten. Für die Berechnung des Differenzenquotienten benötigen wir die \(x\) und \(y\) werte der zwei Punkte \(P_1\) und \(P_2\). Wir kennen ja den \(x\)-Wert des Punktes \(P_1\), dieser lautet \(x_1=1\). Wir kenne auch den \(x\)-Wert des \(P_2\) Punktes, dieser lautet \(x_2=2\). Nun müssen wir die \(y\)-Werte der zwei Punkte berechnen.
Die Antworten auf diese Fragen liefert die Differentialrechnung: Definition Im Folgenden wollen wir herausfinden, wie die Steigung einer Kurve definiert ist. Bloß, wie stellen wir das an? Idee Wir wenden das Steigungsdreieck auf eine Kurve an! Das Steigungsdreieck haben wir erstmals im Kapitel zur Steigung einer linearen Funktion besprochen. Es diente zur Herleitung der Steigungsformel: $$ m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} $$ Dabei ist $m$ die Steigung einer Gerade. Jetzt schauen wir uns an, was passiert, wenn wir das Steigungsdreieck bei einer Kurve zum Einsatz bringen. Zunächst markieren wir zwei beliebige Punkte. Durch diese Punkte ziehen wir eine Gerade. Eine Gerade, die durch zwei Punkte einer Kurve geht, bezeichnet man als Sekante. Die Formel für die Steigung der Sekante lässt sich wieder über das Steigungsdreick herleiten. Für die Sekantensteigung $m$ gilt folglich: $$ m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} $$ Bei dieser Formel handelt es sich um den gesuchten Differenzenquotienten. Allerdings ist folgende Schreibweise für den Differenzenquotienten gebräuchlicher: Es gilt: $y_1 = f(x_1)$ und $y_0 = f(x_0)$.
Der Differentialquotient ist definiert als der Grenzwert des Differenzenquotienten (mit dem er gerne verwechselt wird! ). Er kann auch als die Steigung der Tangente an der Stelle x und damit als die momentane Änderungsrate interpretiert werden. Die Ableitung einer Funktion kann über den Differentialquotienten hergeleitet werden. Definition Geometrische Herleitung In der Abbildung rechts kann man sehen, wie sich der Differentialquotient geometrisch herleiten lässt: die Sekante schneidet den Graph von f noch in zwei Punkten. Durch den Grenzwert wird h immer kleiner. Dadurch rücken die beiden Punkte immer näher. Schließlich wird die Sekante zur Tangente und berührt den Graphen von f nur noch in einem Punkt.
Setzt man diese Abschätzung in den Ausdruck [e h - 1]/h ein, so erhält man [1 + h + h²/2 - 1]/h = [h + h²/2]/h = [1 + h/2], wenn man durch den Nenner kürzt. Dieser Ausdruck ist als Grenzwert tatsächlich "1" für h gegen Null. Wie hilfreich finden Sie diesen Artikel? Verwandte Artikel Redaktionstipp: Hilfreiche Videos 3:21 3:09 1:56 2:40 Wohlfühlen in der Schule Fachgebiete im Überblick
Faktorregel Für ist auch die Funktion in differenzierbar und es gilt: Beweis: Summenregel Die Funktion ist in differenzierbar und es gilt: Produktregel Auch die Funktion ist in differenzierbar und es gilt: Quotientenregel Ist für alle, dann ist auch die Funktion in differenzierbar und es gilt: Zunächst soll der Spezialfall betrachtet werden. Der allgemeine Fall folgt dann aus der Produktregel. Mit der Produktregel gilt nun: Beliebte Inhalte aus dem Bereich Analysis
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