Dieses Gegenbeispiel lässt sich auf beliebige unendlichdimensionale normierte Räume verallgemeinern, man kann darin immer eine unendliche Folge von Vektoren der Länge 1 konstruieren, die untereinander paarweise einen Abstand von wenigstens 1/2 besitzen. Als Ersatz für den Satz von Bolzano-Weierstraß in unendlichdimensionalen Vektorräumen existiert in reflexiven Räumen folgende Aussage: Jede beschränkte Folge eines reflexiven Raumes besitzt eine schwach konvergente Teilfolge. Satz von Weierstraß (Minimum, Maximum) | Theorie Zusammenfassung. Zusammen mit den sobolevschen Einbettungssätzen liefert die Existenz von schwach konvergenten Teilfolgen beschränkter Folgen häufig Lösungen von Variationsproblemen und damit partiellen Differentialgleichungen. Folgerungen und Verallgemeinerungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Aus dem Satz von Bolzano-Weierstraß folgt, dass jede monotone und beschränkte Folge reeller Zahlen konvergiert ( Monotoniekriterium) und dass eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall ein Maximum bzw. ein Minimum annimmt ( Satz vom Minimum und Maximum).
Der Satz von Lindemann-Weierstraß ist ein zahlentheoretisches Resultat über die Nichtexistenz von Nullstellen bei gewissen Exponentialpolynomen, woraus dann beispielsweise die Transzendenz der eulerschen Zahl und der Kreiszahl folgt. Er ist benannt nach den beiden Mathematikern Carl Louis Ferdinand von Lindemann und Karl Weierstraß. Aussage [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Es sei eine (endliche) Menge algebraischer Zahlen gegeben, so sind die Bilder dieser Zahlen unter der Exponentialfunktion linear unabhängig über dem Körper der algebraischen Zahlen. Diesen sehr allgemeinen Satz bewies 1882 (teilweise) von Lindemann, ausgehend von der Hermiteschen Matrix, um einerseits die Transzendenz der eulerschen Zahl und der Kreiszahl zu zeigen. Satz von weierstraß casorati. Obwohl er Erweiterungen andeutete, blieben diese unveröffentlicht, so dass diese dann Weierstraß 1885 vollendete. Beide Arbeiten zusammen bilden den Beweis, so dass der Satz den Namen "Satz von Lindemann-Weierstraß" erhielt. 1893 legte David Hilbert allerdings einen deutlich vereinfachten Beweis durch Widerspruch für die Spezialfälle der Transzendenz der Zahlen und vor, aus dem sich wiederum auch der allgemeine Satz folgern lässt.
bezeichne den Ring der Keime holomorpher Funktionen um, das heißt die Menge aller in einer offenen Umgebung von definierten holomorphen Funktionen, wobei zwei solche Funktionen identifiziert werden, wenn sie auf einer gemeinsamen offenen Umgebung von übereinstimmen. Da nicht-leeres Inneres hat, ist jedes wegen des Identitätsatzes schon durch seine Werte auf bestimmt, das heißt man hat es mit echten Funktionen zu tun, und definiert eine Norm auf. Um dieselbe Beweisidee wie oben verwenden zu können, muss der erste Teil dieser Beweisidee in die Voraussetzungen des Satzes aufgenommen werden. Das erklärt die nachfolgende Formulierung: [7] Es sei ein kompakter Polykreis,. Sei weiter derart, dass der Funktionskeim von in 0 ein Weierstraß-Polynom vom Grad bzgl. ist und für jedes sämtliche Lösungen von die Bedingung erfüllen. Dann gibt es eine Konstante, so dass Folgendes gilt: Jedes hat eine eindeutige Darstellung mit, und,, Wie bereits erwähnt, funktioniert die oben vorgestellte Beweisidee. Satz von weierstraß club. Zusätzliche Arbeit entsteht für die Ermittlung der nur von und abhängigen Konstanten.
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