Inverse Matrix, Determinante, QR-Zerlegung, Eigenwerte und Eigenvektoren, Online-Rechner [LEHRVERANSTALTUNGEN] [SOFTWARE] [KONTAKT] Inverse Matrix, Determinante, QR-Zerlegung, Eigenwerte und Eigenvektoren Auf dieser Webseite können Sie eine reelle quadratische Matrix in MATLAB-Schreibweise eingeben. Mittels HMMatrix werden dann die inverse Matrix, die Determinante, eine QR-Zerlegung, Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmt. Eigenwerte und eigenvektoren rechner und. Für diesen Online-Rechner wurde der HMMatrix-Quelltext mit Emscripten (externer Link! ) von C++ nach JavaScript übersetzt. Zur Ausführung des Online-Rechners muss JavaScript im Webbrowser aktiviert sein.
λ 1 / 2 = – 4 2 ± 4 2 2 – 3 λ 1 / 2 = – 2 ± 1 Damit lauten die Eigenwerte: λ 1 =-3, λ 2 =-1. Um den Eigenvektor für λ 1 zu berechnen, setzen wir -3 in die Eigenwertgleichung ein. – 9 – 3 16 5 – – 3 1 0 0 1 x ⇀ = 0 – 9 – 3 16 5 + 3 0 0 3 x ⇀ = 0 – 6 – 3 16 8 x ⇀ = 0 Dieses Gleichungssystem kann man entweder sofort durch "hinsehen" lösen (was muss man für x 1 und x 2 einsetzen, damit Null herauskommt? ) oder nach dem Schema-F mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus. Eigenwerte und eigenvektoren rechner youtube. Die Zeilen der Matrix sind linear abhängig (eine Zeile ist das Vielfache der anderen), deswegen können wir eine Komponente des Lösungsvektors frei wählen. Wir wählen x 1 =1, dann muss x 2 =-2 sein, damit 1*(-6)+(-2)*(-3)=0. Damit haben wir den gesuchten Eigenvektor für λ 1 =-3. x ⇀ 1 = 1 – 2 Als nächstes wird der Eigenvektor zum Eigenwert λ 2 =-1 berechnet. Dazu setzen wir -1 in die Eigenwertgleichung ein. – 9 – 3 16 5 – – 1 1 0 0 1 x ⇀ = 0 – 8 – 3 16 6 x ⇀ = 0 Auch hier sieht man, dass die beiden Zeilen linear abhängig sind, wir wählen x 1 =1, dann muss x 2 =-8/3 sein.
Um Schreibarbeit zu sparen, lassen wir dabei überflüssige Informationen weg. Übrig bleibt: $$ \begin{pmatrix} (3-{\color{blue}\lambda_i}) & -1 & 0 \\ 2 & (0-{\color{blue}\lambda_i}) & 0 \\ -2 & 2 & (-1-{\color{blue}\lambda_i}) \end{pmatrix} $$ Im Folgenden berechnen wir nacheinander die Eigenvektoren zu den Eigenwerten $\lambda_1$, $\lambda_2$ und $\lambda_3$.
Optionen: Charakteristisches Polynom Algorithmus: automatisch auswhlen immer exakt bei Eingaben mit Komma immer Fliekommamodus Eigenwerte auf 100 Stellen approximieren (nur bei Java/exakt) Eigenvektoren Bei mehrfachen Eigenwerten: Vektoren orthogonalisieren (geht noch nicht, wird bald ergnzt) allgemein Brche rekonstruieren (Kettenbruchalgorithmus) Proben machen Eingabe formatieren Ausgabeformat (html-Format geht noch nicht) Dezimalkomma: Gerschgorin-Kreise zeilenweise spaltenweise alle Matrixelemente dazuplotten • Eigenwerte, • Diagonalelemente, • andere Matrixelemente
250 Diese Matrix verschwindet, wenn auch ihre Determinante verschwindet: \(\det (A - \lambda \cdot I) = \left| {\begin{array}{cc}{ {a_{11}} - \lambda}&{ {a_{12}}}&{... }&{ {a_{IK}} - \lambda}\end{array}} \right| = 0\) Gl. 251 Nach dem Auflösen der Determinante entsteht ein Polynom in l - das charakteristische Polynom – dessen Grad mit dem Rang der Matrix übereinstimmt: \({\lambda ^R} + {c_{R - 1}}{\lambda ^{R - 1}} + \, \,.... \, \, + {c_1}\lambda + {c_0} = 0\) Gl. 252 Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gibt es für ein Polynom des Grades R auch R Lösungen für l. Dabei können mehrfache, aber auch komplexe Lösungen auftreten! Prozent in Bruch (Online-Rechner) | Mathebibel. Für jedes gefundene l kann nun Gl. 248 gelöst werden: \( \left( {A - {\lambda _k} \cdot I} \right) \cdot X = 0 \quad k = 1... K \) Gl. 253 Im Ergebnis wird je ein Eigenvektor X k zum Eigenwert l k gefunden. \(\begin{array}{l}\left( { {a_{11}} - {\lambda _k}} \right) \cdot {x_1} + {a_{12}}{x_2} +.... + {a_{1K}}{x_K} = 0\\{a_{21}}{x_1} + \left( { {a_{22}} - {\lambda _k}} \right) \cdot {x_2} +.... + {a_{2K}}{x_K} = 0\\.... \\{a_{I1}}{x_1} + {a_{I2}}{x_2} +.... + \left( { {a_{IK}} - {\lambda _k}} \right) \cdot {x_K} = 0\end{array}\) Gl.
Bezeichnet man die beiden Elemente des Vektors mit x 1 und x 2, muss folgendes Gleichungssystem gelöst werden $$\begin{pmatrix}-2 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Die untere Zeile spielt hier keine Rolle, da die Zeile wegen der beiden 0 immer 0 ergeben wird. Dann bleibt als Gleichung zu lösen: $$-2 x_1 + 1 x_2 = 0$$ Das ist z. erfüllt für x 1 = 1 und x 2 = 2 bzw. Eigenwerte und eigenvektoren rechner in de. den Vektor: $$\begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix}$$ Kontrolle Es muss erfüllt sein (vgl. Eigenwertproblem): A × x = λ × x $$\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$ $$= \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \\ 0 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \end{pmatrix}$$ $$= \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$ Weitere Eigenvektoren zum Eigenwert 3 sind Vielfache dieses Vektors, also z. B. $$\begin{pmatrix}2 \\ 4 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix}3 \\ 6 \end{pmatrix}$$ Für den zweiten Eigenwert 1 können Eigenvektoren analog berechnet werden.
Wie man dieses sog. Eigenwertproblem löst, erfährst du in den folgenden Kapiteln: Eigenwerte berechnen Eigenvektoren berechnen Online-Rechner Charakteristisches Polynom online berechnen Eigenwerte online berechnen Eigenvektoren online berechnen Zurück Vorheriges Kapitel Weiter Nächstes Kapitel
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