Analog zur obigen Fallunterscheidung sollten wir auch hier untersuchen, wie sich welcher Fall auswirkt. Setzt man die jeweilige Bedingung für das Maximum ein, ergibt sich eine wahre Aussage für beide Fälle: Betrachten wir zunächst wieder die Definition des Minimums so fällt auf, dass wir wieder zwei Fälle beachten müssen: und das "sonst". Im Sinne der Trichotomie muss hier gelten da und durch den ersten Fall ausgeschlossen werden. Nach Definition des Minimums können wir in diesem Fall einsetzen. Lineare funktionen übersicht pdf download. Da wir außerdem noch wissen, dass gelten muss, erhalten wir und durch die Transitivität. Ähnlich dem ersten Fall können wir und das Minimum gleichsetzen (), was nach der Definition des Minimums gelten muss. Daher muss gelten. Durch die Transitivität der Relation können wir das zu auseinander ziehen. Auch der Ausdruck ist immer wahr, da immer dann wahr ist, wenn auch wahr ist (Siehe Definition von). Setzt man die jeweilige Bedingung für in den zu zeigenden Ausdruck ein, so erhalten wir für die beiden möglichen Fälle immer eine wahre Aussage.
Aus folgt, also und damit. Es ist dann Fall 2: Ist, dann ist auch, weil Null ihr eigenes Negative ist. Entsprechend ist Fall 3: Charakteristische Eigenschaft [ Bearbeiten] Für das Maximum und Minimum haben wir folgende charakteristische Eigenschaft kennen gelernt: Aus dieser können wir eine für Beweise nützliche Eigenschaft für Beträge ableiten. Ersetzt man nämlich durch, ergibt sich: Daraus folgt: Es ist also genau dann, wenn und ist. Analog ist genau dann, wenn und. Lineare Funktionen - LEARNZEPT®. Eigenschaften (Übersicht) [ Bearbeiten] Es folgt eine Zusammenfassung aller wichtigen Eigenschaften des Betrags. Dabei habe ich auch die Form aufgeführt, die dir in den Beweisen der Analysis oft begegnen wird: Eigenschaft des Betrags Eigenschaft für den Abstand Beweise der Betragseigenschaften [ Bearbeiten] Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag null [ Bearbeiten] Satz (Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag null) Es ist genau dann der Betrag einer Zahl 0, wenn die Zahl selbst 0 ist. Es gilt also Beweis (Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag null) Für ist.
Beweis (Dreiecksungleichung) Aus und folgt ("Monotonie der Addition"). Analog folgt aus und, dass, also ist (wiederum "Monotonie der Addition"). Da entweder oder ist, ist auch. Die Dreiecksungleichung werden wir vor allem nutzen, um Abstände nach oben abzuschätzen. In die Differenz kann nämlich ein Term eingeschoben werden, also Der Abstand kann also über die Abstände und nach oben abgeschätzt werden. Der obige Trick wird in der Analysis häufig verwendet. Abschätzung des Abstands nach unten [ Bearbeiten] Satz (Abschätzung des Abstands nach unten) Beweis (Abschätzung des Abstands nach unten) Es ist und damit nach Umformung der Ungleichung Analog folgt aus die Ungleichung Insgesamt ist also sowohl als auch kleiner als. Betrag, Maximum und Minimum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher. Damit ist Betrag des Quotienten [ Bearbeiten] Satz (Betrag des Quotienten) Für Quotienten ist Beweis (Betrag des Quotienten) Es ist wegen der Multiplizität des Betrags: Durch Multiplikation von auf beiden Seiten der Gleichung erhalten wir die zu beweisende Gleichung. Alternativer Beweis (Betrag des Quotienten) Gegeben sei.
Nach der Definition des Betrags folgt aus, dass ist. Nun impliziert die beiden Ungleichungen und. Damit folgen aus die beiden Ungleichungen und. Nach Multiplikation von der Ungleichung mit erhalten wir. Damit haben wir die beiden Bedingungen und. Mit der Antisymmetrie der Kleiner-Gleich-Relation ("Aus und folgt ") erhalten wir. Alternativer Beweis (Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag null) Gegeben sei. Nach der Definition des Betrags ist. Somit ist oder. Für bzw. gibt es nichts mehr zu beweisen. Andererseits folgt aus bzw., dass ist (Spiegelung bei Bildung des Negativen). Da aber das Negative der Null die Null selbst ist, folgt aus, dass ist. In beiden Fällen oder folgt also, womit dieser Beweisschritt gezeigt ist. Lineare funktionen übersicht pdf de. Multiplizität [ Bearbeiten] Satz (Multiplizität) Es ist. Beweis (Multiplizität) Fall 1: und beliebig Fall 2: beliebig und Fall 3: und Es folgt und damit. Fall 4: und Es folgt und damit. Wegen ist. Somit haben wir. Fall 5: und Fall 6: und Dreiecksungleichung [ Bearbeiten] Satz (Dreiecksungleichung) Für alle reellen Zahlen und ist.
Tutorial: Quizzes Mit dem Laden des Videos akzeptieren Sie die Datenschutzerklärung von YouTube. Mehr erfahren Video laden YouTube immer entsperren Teil II: Funktionswert berechnen Teil III: Funktionswerte und Graph zeichnen Teil IV: Funktion und unterschiedliche Darstellungsformen Nullstelle und ihre Koordinaten berechnen Auswirkung der Steigung m (Ursprungsgeraden: y = mx) Auswirkung y-Achsenabschnitt t und Steigung m Überprüfen, ob Punkt auf Gerade liegt Fehlende Koordinaten berechnen Teil I: …mit m und y-Achsenabschnitt Teil II: …mit Wertetabelle 1. Fall: 2 Punkte gegeben (Berechnung mit m-Formel) 1. Fall: 2 Punkte gegeben (Berechnung mit Vektor) 2. Fall: 1 Punkt und y-Achsenabschnitt t gegeben 3. Fall: 1 Punkt und Steigung m gegeben Teil II: Typisches Musterbeispiel 2. Teil: Parallele aufstellen 3. Teil: Überprüfen, ob zwei Geraden parallel 2. Lineare funktionen übersicht pdf online. Teil: Überprüfen, ob zwei Geraden senkrecht 3. Teil: Senkrechte durch Punkt aufstellen 2. Teil: Graph zeichnen Geradengleichung aufstellen 1.
Teil: Gleichung der Mittelsenkrechten bestimmen 2. Teil: Mittelpunkte von Strecken bestimmen 3. Teil: Gleichung der Seitenhalbierenden bestimmen 4. Teil: Überprüfen, ob ein Punkt auf der Gerade liegt 5. Teil: Ergebnisse in Koordinatensystem zeichnen
Mögliche Unterrichtsbausteine Wiederholung Proportionalität, Antiproportionalität ( Auftrag) Graphen von Proportionalitäten (im Vergleich dazu von Antiproportionalitäten) Üben und Festigen der Begriffe mit erstellten Aufgabenkarten (1) ( Vorlage) Begriff der Steigung ( Auftrag und Vorlage, Anwendungsaufgaben zum Vertiefen und Festigen: z. B. aus Mathematikbuch 3, Lernumgebung 18 – S. 41, Nr. 3 und 4) Geraden ( Einstieg, Vertiefung, Spiel) Üben und Festigen (2) Achtung: Bei einigen Aufgaben machen eigentlich nur die natürlichen Zahlen als Definitionsmenge Sinn. Übersicht zu linearen Funktionen. Hier ist es wichtig, mit den SuS über den Modellierungsgedanken zu sprechen und Vor- und Nachteile zu diskutieren. (1) Zu Beginn einer Stunde kommt ein/e Schüler/in nach vorne, zieht eine Karte, entscheidet, ob es sich um eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung handelt (oder um keine von beiden, falls solche Karten dabei sind), füllt am OHP eine Wertetabelle aus, skizziert dann den zugehörigen Graphen und gibt die Zuordnungsvorschrift an.
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