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Verallgemeinerung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Allgemein lassen sich durch die Zweipunkteform nicht nur Geraden in der Ebene, sondern auch in drei- und höherdimensionalen Räumen beschreiben. Im -dimensionalen euklidischen Raum besteht eine Gerade entsprechend aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren die Gleichung erfüllen. Es wird dabei lediglich mit -komponentigen statt zweikomponentigen Vektoren gerechnet. Auch die Darstellung mit baryzentrischen Koordinaten bleibt in höherdimensionalen Räumen in analoger Form erhalten. Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 1. Springer, 2007, ISBN 978-3-8348-0224-8. Thomas Westermann: Mathematik für Ingenieure. Einheitsvektor, Länge von Vektoren - Online-Kurse. Springer, 2008, ISBN 978-3-540-77731-1.
In kartesischen Koordinaten kann die lineare Abbildung durch eine Matrix dargestellt werden und es gilt: Im dreidimensionalen Raum ergibt dies: Entsprechende Darstellungen gibt es auch für andere Dimensionen. Parameterdarstellung einer Geraden [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die Gerade durch die Punkte und enthält genau die Punkte, deren Ortsvektor die Darstellung mit besitzt. Man spricht hier auch von der Parameterform einer Geradengleichung. Vektor aus zwei punkten und. Normalenform der Ebenengleichung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die Ebene durch den Punkt (Stützpunkt) mit Normalenvektor enthält genau die Punkte, deren Ortsvektor die Normalengleichung erfüllt. Dabei ist der Ortsvektor ( Stützvektor) des Stützpunkts und der Malpunkt bezeichnet das Skalarprodukt. Ortsvektor in verschiedenen Koordinatensystemen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Kartesisches Koordinatensystem Der durch einen Ortsvektor beschriebene Punkt kann durch die Koordinaten eines Koordinatensystems ausgedrückt werden, wobei der Bezugspunkt des Ortsvektors normalerweise in den Koordinatenursprung gelegt wird.
Die Koordinaten eines Vektors, dessen Repräsentant in einem Gitternetz eingezeichnet ist, können einfach anhand der Kästchen abgezählt werden. Dies funktioniert auch in einem Koordinatensystem. Allerdings sind Vektoren oft nur dadurch gegeben, dass die Koordinaten zweier Punkte (z. B. A A und B B genannt) angegeben werden, zwischen denen ein Repräsentant des Vektors verläuft. In diesem Fall bezeichnet man den Vektor v ⃗ \vec{v} auch mit A B → \overrightarrow{AB}. Zeigt v ⃗ \vec{v} von A A nach B B, so heißt A A Fuß oder Fußpunkt und B B Spitze von v ⃗ \vec{v}. Möchte man nun die Koordinaten des Vektors v ⃗ \vec{v} berechnen, der von A ( a 1 ∣ a 2) A(a_1|a_2) nach B ( b 1 ∣ b 2) B(b_1|b_2) zeigt, geht man wie folgt vor: Allgemein ausgedrückt hält man sich an den Merksatz Man rechnet "Spitze minus Fuß". Das heißt man erhält die x 1 x_1 -Koordinate von v ⃗ \vec{v}, indem man a 1 a_1 von b 1 b_1 abzieht. Lineare Algebra: Vektorrechnung: Geraden – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher. Entsprechend erhält man die x 2 x_2 -Koordinate, indem man a 2 a_2 von b 2 b_2 abzieht.
Man bekommt also den Abstand d eines Punktes Q von einer Geraden, wenn man in deren HESSE-Normalform ( x - a) n o = 0 den Vektor x durch den zu Q führenden Vektor ersetzt. Eine Gerade ist in der Normal-Form g: [ x - (3; 1)](15; 8) = 0 vorgegeben. Um den Abstand d vom Punkt Q (9 |10) zu berechnen, "normieren" wir den Normalenvektor (15; 8) auf die Länge 1. Es wird so n o = ( 1 / (√ 225+64))(15; 8) = 1/17 (15; 8). Vektor aus zwei punkten de. Damit wird die HESSE-Normalform 1/17 (15; 8) [ x - (3; 1)] = 0 und so wird der gesuchte Abstand d d = 1/17 (15; 8) [(9; 10) - (3; 1)] d = 1/17 (15; 8) [6; 9] d = 1/17 [90 + 72] d = 162/17. Schnittpunkt zweier Geraden. Windschiefe Geraden [ Bearbeiten] Im Dreidimensionalen gibt es zwei nicht parallele Geraden, die keinen Schnittpunkt S haben. Solche aneinander vorbeilaufende Geraden heißen windschiefe Geraden. Sind u, v die beiden Richtungsvektoren, a, b die beiden Stützvektoren zweier Geraden, so erreicht man den Schnittpunkt S durch x S = a + r u bzw. x S = b + s v für ein bestimmtes Zahlenpaar r, s.
Abb. 9 / Verbindungsvektor berechnen Online-Rechner Verbindungsvektor online berechnen Zurück Vorheriges Kapitel Weiter Nächstes Kapitel
L*vec1( A, B) Bestimmt einen Vektor der Länge L in der Richtung von Punkt A nach Punkt B. A + v Bestimmt Punkt B über eine Parallelverschiebung von Punkt A durch den Vektor v. A +[5<20] Bestimmt Punkt B 5 Einheiten vom Punkt A entfernt unter einem Winkel von 20 Grad. Beachten Sie, dass [5<20] ein Vektor mit Polarkoordinaten ist.