\({z^n} = {\left| z \right|^n} \cdot {\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi} \right)^n} = {\left| z \right|^n} \cdot {\left( {{e^{i\varphi}}} \right)^n} = {\left| z \right|^n} \cdot {e^{in\varphi}} = {\left| z \right|^n} \cdot \left[ {\cos \left( {n\varphi} \right) + i\sin \left( {n\varphi} \right)} \right]\) Potenzen komplexer Zahlen Um eine komplexe Zahl mit n zu potenzieren, bietet sich die Polarform an, da dabei lediglich der Betrag r zur n-ten Potenz zu nehmen ist und das Argument \(\varphi\) mit n zu multiplizieren ist. \(\eqalign{ & {z^n} = {\left( {r \cdot {e^{i\varphi}}} \right)^n} = {r^n} \cdot {e^{i \cdot n \cdot \varphi}} \cr & {z^n} = {r^n}(\cos \left( {n\varphi} \right) + i\sin \left( {n\varphi} \right)) \cr} \) Wurzeln komplexer Zahlen Für das Wurzelziehen von komplexen Zahlen ist es zweckmäßig auf eine Polarform (trigonometrische Form oder Exponentialform) umzurechnen, da dabei lediglich die Wurzel aus dem Betrag r gezogen werden muss und das Argument durch n zu dividieren ist.
Für das Logarithmieren ist es zweckmäßig auf Polarform umzurechnen, da dann lediglich der reelle Logarithmus vom Betrag r berechnet werden muss und sich der Imaginärteil zu \(i\left( {\varphi + 2k\pi} \right)\) ergibt. Bedingt durch die Periodizität der Exponentialfunktion ist der Imaginärteil lediglich auf ganzzahlige Vielfache k von 2π bestimmt.
Geometrische Interpretation der Addition und Multiplikation komplexer Zahlen Sowohl die Addition als auch die Multiplikation komplexer Zahlen hat eine direkte geometrische Interpretation. Während die Addition eines konstanten Summanden eine Verschiebung bewirkt, lässt sich eine komplexe Multiplikation mit einem konstantem Faktor als Drehstreckung interpretieren. Komplexe Addition Im Prinzip ist die komplexe Addition nichts anders als eine 2-dimensionale Vektoraddition. Realteil und Imaginärteil werden unabhängig voneinander addiert. Geometrisch kann man die Summe über eine Parallelogrammkonstruktion finden. Komplexe Multiplikation Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen werden die Längen miteinander multipliziert und die Winkel bezüglich der reellen Achse summiert. Komplexe zahlen addition sheets. Man sieht dies am einfachsten über die Polarkoordinaten-Darstellung einer komplexen Zahl ein. Gilt [ a=r_a\cdot e^{i\psi_a} \;\;\;\mbox{und} \quad b=r_b\cdot e^{i\psi_b}, ] so ergibt sich für das Produkt [ a\cdot b=r_a r_b\cdot e^{i(\psi_a+\psi_b)}. ]
Man kann die Multiplikation mit einer komplexen Zahl $r_a\cdot e^{i\psi_a}$ auch als Drehstreckung auffassen. Hierbei wird um den Winkel $\psi_a$ gedreht und um den Faktor $r_a$ gestreckt (bzw. gestaucht).