Der Nullvektor ist genau dann die einzige Lösung, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich der Anzahl der Variablen ist. Beispiel 1: Es ist das folgende homogene lineare Gleichungssystem zu lösen: x 1 + 2 x 2 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 4 x 1 + 16 x 2 + x 3 = 0 Die Koeffizientenmatrix hat folgende Gestalt: A = ( 1 2 0 1 1 1 4 16 1) Nach Umformung ergibt sich: ( 1 2 0 0 1 − 1 0 0 9) ⇒ r g A = 3 = n Der Rang von A ist also gleich der Anzahl n der Variablen, und es existiert nur die triviale Lösung x → = ( 0 0 0). Satz 2: Das homogene lineare Gleichungssystem besitzt genau dann unendlich viele Lösungen, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix kleiner als die Anzahl der Variablen ist. Beispiel 2: Es ist das folgende homogene lineare Gleichungssystem zu lösen: x 1 + 4 x 2 = 0 x 1 + 4 x 2 + 2 x 3 = 0 4 x 1 + 16 x 2 + 2 x 3 = 0 Die Koeffizientenmatrix hat folgende Gestalt: A = ( 1 4 0 1 4 2 4 16 2) Umformen ergibt ( 1 4 0 0 0 2 0 0 0) ⇒ r g A = 2 < n, d. h. Lineare gleichungssysteme unendlich viele lösungen. der Rang von A ist kleiner als die Anzahl der Variablen.
Und damit auch A*x + A*y = 2b <=> A*(x+y) = 2b <=> A*(0, 5*(x+y)) = b # Und wenn x und y verschieden und aus R^n sind, dann ist auch 0, 5*(x+y) von beiden verschieden und # sagt, dass es auch eine Lösung ist. Für den Rest hattest du ja schon argumentiert. Beantwortet mathef 251 k 🚀 Ähnliche Fragen 19 Aug 2020 Gast
B. 0 = -1! ) führen, oder lösbar, wenn Nullzeilen entstehen. Wie hilfreich finden Sie diesen Artikel? Verwandte Artikel Redaktionstipp: Hilfreiche Videos 4:16 4:03 2:28 Wohlfühlen in der Schule Fachgebiete im Überblick
Für dieses Verfahren gibt es mehrere Möglichkeiten. Zum Beispiel können Sie das System nach dem Gaußschen Algorithmus auflösen. Im abhängigen Fall erhalten Sie in einer der Zeilen nur Nullen - eine vor allem im Schulunterricht übliche Form der Prüfung. Solch eine Nullzeile ist für jede Variablenkombination lösbar und stellt somit keine Einschränkung dar (man könnte sie auch weglassen). Es verbleiben n-1 Gleichungen, jedoch weiterhin n Unbekannte. Beweis Gleichungssystem eine, keine oder unendlich viele Lösungen | Mathelounge. Auch hier ist also eine Unbekannte oder Variable frei wählbar, die anderen ergeben sich aus den verbliebenen Gleichungen. Das Gleichungssystem hat entsprechend eine einparametrige unendliche Lösungsmenge. Hat man mehr als eine Nullzeile, sind mehrere Unbekannte frei wählbar. Übrigens: Enthält das lineare Gleichungssystem weniger Gleichungen als Variable, so reichen die Informationen für eine eindeutige Lösung ebenfalls nicht aus. Man nennt dies unterbestimmt. Überstimmte Systeme, die mehr Gleichungen als Unbekannte enthalten, sind entweder unlösbar, da sie auf einen Widerspruch (z.
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