Man kann den Schnittpunkt der beiden Geraden als Aufpunkt der neuen Geraden nehmen. Um den Richtungsvektor der Bildgeraden zu bestimmen wählt man einen beliebigen weiteren Punkt auf der gegebenen Gerade. Anschließend konstruiert man eine Hilfsebene, die senkrecht zur "Spiegelgeraden" und durch den gewählten Punkt verläuft. Der Schnittpunkt von H mit der Spiegelgeraden ist der Lotfußpunkt. An diesem spiegelt man jetzt den Punkt der ursprünglichen Geraden und aus diesem Bildpunkt lässt sich dann der Richtungsvektor der gespiegelten Geraden herausfinden. Die Spiegelung an einer windschiefen Gerade wird hier vorerst noch ausgespart. Spiegelung einer Ebene an einer Geraden Auch für diese Spiegelung gibt es zwei Möglichkeiten. Wenn die Gerade parallel zur Ebene verläuft reicht das Spiegeln von einem Punkt der Ebene aus. Spiegelung. Wir nehmen dann den Bildpunkt als Aufpunkt der Bildebene und übernehmen die Spannvektoren bzw. den Normalenvektor der ursprünglichen Ebene. Verlaufen Ebene und Geraden nicht parallel, so spiegelt man drei Punkte der Ebene an der Geraden und bastelt aus den drei neuen Bildpunkten die Bildebene (in Parameterform).
B über die Lotebene]. Der Normalenvektor von E Lot ist der Richtungsvektor von g. Daher wissen wir: E Lot: -2x 1 + 3x 2 + 2x 3 = d Um die rechte Seite zu erhalten, setzen wir K in E Lot ein. -2·2 + 3·9 + 2·8 = d ⇒ d=39 ⇒ E Lot: -2x 1 + 3x 2 +2x 3 = 39 g mit E Lot schneiden: -2·(2–2t) + 3·(1+3t) + 2·(3+2t) = 39 -4+4t + 3+9t + 6+4t = 39 ⇒ t = 2 Damit hat der Lotfußpunkt L die Koordinaten: Nun können wir den Spiegelpunkt K* berechnen: V. 04 | Punkt an Ebene spiegeln - Man bestimmt den Lotfußpunkt vom Punkt auf die Ebene [mittels Lotgerade] Beispiel g. Spiegeln Sie den Punkt A( 10 | -8 | 9) an der Ebene E: 4x 1 –x 2 +3x 3 = 23 Die Lööösuunnnggg: Wir stellen eine Lotgerade auf. Der Normalenvektor von E Lot ist der Richtungsvektor von g. Spiegelung Punkt an Gerade. A ist der Stützvektor der Gerade. Daher wissen wir: Nun schneiden wir g Lot mit E, um L zu erhalten. 4·(10+4t) – (-8–1t) + 3·(9+3t) = 23 40+16t + 8+t + 27+9t = 23 ⇒ t = -2 ⇒ L ( 2 | -6 | 3) Nun können wir den Spiegelpunkt A* berechnen: V. 05 | Schöne Dinge an anderen schönen Dingen spiegeln Spiegeln einer Geraden an einem Punkt: (Die beiden Geraden müssen parallel sein, daher sind die Richtungsvektoren gleich oder Vielfache) - Man spiegelt den Stützvektor der Geraden am anderen Punkt und erhält der Stützvektor der gespiegelten Gerade.
Anschließend spiegeln wir diesen Punkt an der Ebene und nehmen den Bildpunkt P' als Aufpunkt der gespiegelten Geraden. Da ursprüngliche und gespiegelte Gerade ja denselben Schnittpunkt mit der Ebene haben müssen nehmen wir den Vektor $\overrightarrow{SP'}$ als Richtungsvektor der gesuchten Geraden. Zum Schluss des Kapitels noch eine Aufgabe, die zeigt, wie Spiegelungen Bestandteil des Mathe-Abiturs sein können:
Spiegelung eines Punktes an einer Gerade n Möchte man einen Punkt P an einer Geraden spiegeln, brauchen wir dazu den Punkt S auf der Geraden, der zu P die kleinste Entfernung hat. Wie kommen wir zu diesem? In der Darstellung erkennt man, dass die Verbindung von P zu S senkrecht zur Gerade steht. $\overrightarrow{PS}$ ist orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden. Das hilft uns schon ein Stück weiter, aber S haben wir damit noch nicht bestimmt. Wir greifen hier zu einem kleinen Trick... Spiegelung punkt an ebene der. und konstruieren eine Ebene, die orthogonal zur Geraden liegt und den Punkt P enthält. Hier bietet sich das Aufstellen der Ebenengleichung in Koordinatenform an, den Richtungsvektor der Geraden benutzen wir als Normalenvektor unserer Hilfsebene. Der Schnittpunkt der Ebene mit der Geraden ist unser gesuchter Punkt S. Er liegt auf der Geraden $\overrightarrow{PS}$ und ist orthogonal zu g, schließlich liegt $\overrightarrow{PS}$ ja in der konstruierten Ebene. Diesen Punkt nennt man auch Lotfußpunkt. Durch Spiegelung von P an S erhalten wir den gesuchten Bildpunkt P'.
Dafür bekommt er einen einmaligen Einblick in die vielen kleinen Häfen tief in den norwegischen Fjorden, erlebt traumhafte Inselwelten, atemberaubende Wasserfälle und gewaltige Bergriesen. "Abenteuer Hurtigruten" zeigt mit über 240 Bildern die Natur- und Landschaftswunder, die diese ungewöhnliche Reise bereithält, und nimmt in seinen Reportagen mit auf viele Abenteuer, unter anderem zur Inselgruppe der Lofoten, an das Nordkap und zu den Samen mit ihrer traditionellen Lebensweise im Land der Mitternachtssonne.
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Während das Schiff im Hafen liegt, ist Zeit für einen Stadtbesuch. Sehenswürdigkeiten gibt es viele, hier steht beispielsweise die am nördlichsten gelegene Kathedrale der Welt. Nach kürzeren Stopps im hohen Norden erreicht das Schiff das Tor zum spektakulären Nordkap. Per Bus geht es dann an der schroffen Felsenküste entlang zum Plateau des Globus-Denkmals, dem Symbol für das Nordkap. Nur 2000 Kilometer entfernt befindet sich der geografische Nordpol. Abenteuer hurtigruten 2 parts. Mit dem Gefühl, am Ende der Welt zu sein, geht die Schiffsreise weiter ins Kernland der Samen. Im Fischerdorf Kjøllefjord gehen viele Passagiere von Bord, um eine aufregende Fahrt mit dem Schneemobil durch die entlegensten Landschaften in Lappland zu erleben. Schneebedeckte Täler und - mit etwas Glück - das hypnotisierende Nordlicht am klaren Sternenhimmel sind die Highlights. Der Ausflug endet in Mehamn in der Nähe des nördlichsten Punkts des europäischen Festlands an der stürmischen und wilden Küste der Finnmark. Endstation der Schiffsreise ist Kirkenes im äußersten Nordosten Norwegens.