Das harmonische Mittel ist ein Mittelwert einer Menge von Zahlen. Es war schon Pythagoras bekannt. Es ist der Spezialfall des Hölder-Mittels mit Parameter −1. Definition Das harmonische Mittel der Zahlen ist als definiert. Der Kehrwert des harmonischen Mittels ist und somit das arithmetische Mittel der Kehrwerte. Mit der Formel ist das harmonische Mittel zunächst nur für von null verschiedene Zahlen definiert. Geht aber einer der Werte gegen null, so existiert der Grenzwert des harmonischen Mittels und ist ebenfalls gleich null. Daher ist es sinnvoll, das harmonische Mittel als null zu definieren, wenn mindestens eine der zu mittelnden Größen gleich null ist. Eigenschaften Für zwei Werte und ergibt sich mit dem arithmetischen Mittel und dem geometrischen Mittel. Harmonisches Mittel. Für nichtnegative gilt Beispiel Für das harmonische Mittel von gilt. Verwendet man die Formel aus dem Abschnitt Eigenschaften, so gilt. Gewichtetes harmonisches Mittel Sind den positive Gewichte zugeordnet, so ist das gewichtete harmonische Mittel wie folgt definiert: Sind alle gleich, so erhält man das gewöhnliche harmonische Mittel.
bergeordnete Kapitel Icon Nummer Titel 3 Ausgewhlte statistische Grundlagen und Analysemethoden 3. 3 "Mittelwerte": Lagemae und Mazahlen der zentralen Tendenz Das harmonische Mittel ist ein geeignetes Lagemaß für Größen, die durch einen (relativen) Bezug auf eine Einheit definiert sind: z. B. Geschwindigkeiten (Strecke pro Zeiteinheit) oder Ernteerträge (Gewicht oder Volumen pro Flächeneinheit). Harmonisches mittel formel 1. Die zur Berechnung benötigte Formel ist: Abbildung: Formel für die Berechnung des harmonischen Mittels Beispiel: Durchschnittsreisegeschwindigkeit Elke fährt von Wien nach Melk (etwa 100 km) mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 80 km/h. Anschließend fährt sie mit durchschnittlich 120 km/h von Melk nach Linz und legt dabei ebenfalls 100 km zurück. Wie schnell fuhr sie im Schnitt? Die meisten Befragten würden nach kurzer Überlegung 100 km/h als Durchschnittsgeschwindigkeit angeben. Doch ist dies falsch, da Elke unterschiedlich lange mit diesen beiden Geschwindigkeiten unterwegs war. Elke braucht für die ersten 100 km, die sie mit 80 km/h zurücklegt, insgesamt 100/80 Stunden, also 1, 25 Stunden oder 1 Stunde und 15 Minuten.
Harnack-Ungleichung: Für jede zusammenhängende, offene und relativ kompakte Teilmenge gibt es eine Konstante, die nur von dem Gebiet abhängt, so dass für jede in harmonische und nichtnegative Funktion gilt. Im Sonderfall für ein einfach zusammenhängendes Gebiet können die harmonischen Funktionen als Realteile analytischer Funktionen einer komplexen Variablen aufgefasst werden. Jede harmonische Funktion ist auch eine biharmonische Funktion. Merkzettel fürs MatheStudium | MassMatics. Beispiel [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die Grundlösung ist eine auf harmonische Funktion, worin das Maß der Einheitssphäre im bezeichnet. Versehen mit dieser Normierung spielt die Grundlösung eine fundamentale Rolle in der Theorie zur Poisson-Gleichung. Verallgemeinerungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Polyharmonische Funktionen sind bis zur 2m-ten Ordnung der Ableitung stetige Lösungen der Differentialgleichung: Für ( Biharmonische Funktion) taucht die Differentialgleichung in der Theorie der elastischen Platten auf ( Gustav Kirchhoff).
Achtung: Geometrischen Mittel und Arithmetisches Mittel sind hiervon abzugrenzen.
Allgemein gilt: Benötigt man für die Teilstrecke die Zeit (also Durchschnittsgeschwindigkeit) und für die Teilstrecke (also Durchschnittsgeschwindigkeit), so gilt für die Durchschnittsgeschwindigkeit über die gesamte Strecke Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist also das mit den Wegstrecken gewichtete harmonische Mittel der Teilgeschwindigkeiten oder das mit der benötigten Zeit gewichtete arithmetische Mittel der Teilgeschwindigkeiten. Fährt man eine Stunde mit 50 km/h und dann eine Stunde mit 100 km/h, so legt man insgesamt 150 km in 2 Stunden zurück; die Durchschnittsgeschwindigkeit ist 75 km/h, also das arithmetische Mittel von 50 und 100. Bezieht man sich hingegen nicht auf die benötigte Zeit, sondern auf die durchfahrene Strecke, so wird die Durchschnittsgeschwindigkeit durch das harmonische Mittel beschrieben: Fährt man 100 km mit 50 km/h und dann 100 km mit 100 km/h, so legt man 200 km in 3 Stunden zurück, die Durchschnittsgeschwindigkeit ist 66, 67 km/h, also das harmonische Mittel von 50 und 100.
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