Quadratische Ergänzung findet in der Mathematik eine Vielzahl von Anwendungsbereichen. Neben dem Lösen von quadratischen Gleichungen und der Bestimmung des Scheitelpunkts, kann sie auch zur Integration einiger speziellen Terme verwendet werden. Methode #1 Wenn man sich gut Formeln merken kann, ist dieser Weg der einfachste. Man kann sich diese Gleichung auch über die allgemeine Gleichung zur Lösung einer quadratischen Gleichung herleiten: Definition Die Funktion a · x ²+ b · x + c hat ihren Scheitelpunkt S bei Beispiel Der Scheitelpunkt liegt demnach bei: Damit würde das Polynom in Scheitelpunktform so geschrieben werden: Methode #2 Die zweite Methode ist die quadratische Ergänzung. Nehmen wir als Beispiel wieder die allgemeine Form der quadratischen Funktion: 1. Zuerst muss der Leitkoeffizient aus den Termen mit x faktorisiert werden: 2. Dann erfolgt die eigentliche quadratische Ergänzung. Da es sich bei der quadratischen Ergänzung um eine Äqivalenzumformung handelt, wird die mathematische Aussage der Funktion nicht verändert.
Wegen des Minus ist es die 2. binomische Formel. $$x^2-6x$$ $$+? $$ $$=(x$$ $$-? $$ $$)^2$$ $$x^2-6x+3^2=(x-3)^2$$ Diese Zahl ( quadratische Ergänzung) addierst du auf beiden Seiten der Gleichung. $$x^2-6x+3^2=-5+3^2$$ $$x^2-6x+9=4$$ Auf der linken Seite kannst du jetzt das Binom bilden. $$(x-3)^2=4$$ Ziehst du nun auf beiden Seiten die Wurzel, ist eine Fallunterscheidung notwendig. 1. Fall: $$x-3=sqrt(4)=2$$ 2. Fall: $$x-3=-sqrt(4)=-2$$ Lösung Durch Umstellen erhältst du die beiden Lösungen. Fall: $$x-3=2 rArr x_1 =5$$ 2. Fall: $$x-3=-2 rArr x_2=1$$ Lösungsmenge: $$L={5;1}$$ Probe Lösung: $$5^2-6*5+5=0 (? )$$ $$25-30+5=0$$ $$0=0$$ Lösung: $$(-1)^2-6·(-1)+5=0 (? )$$ $$1-6+5=0$$ $$0=0$$ Binomische Formel: $$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$ Quadratische Ergänzung: Term $$b^2$$, der die Summe zum Binom $$(a-b)^2 $$ergänzt. Beachte! $$(sqrt(4))^2=4$$ und $$(-sqrt(4))^2=4$$ Jetzt mit Brüchen Sind die Koeffizienten in der quadratischen Gleichung Brüche, wird es etwas schwieriger. Beispiel mit Dezimalbrüchen Löse die Gleichung $$x^2+2, 4x-0, 25=0$$.
Die Quadratische Ergänzung ist ein Werkzeug welches wir in den folgenden Artikeln benötigen. Für die quadratische Ergänzung benötigen wir das Wissen über die binomischen Formeln, welche in einem früheren Artikel beschrieben wurden. Wir wenden die erste und die zweite binomische Formel rückwärts an um unsere quadratischen Gleichungen umzuformen. Zu unserem Zweck schreiben wir die binomischen Formeln etwas um und setzen statt b nun b/2 ein. In der Mitte kann man dadurch die 2 mit der 2 von b/2 kürzen, wodurch nur noch bx übrig bleibt: Das Ziel ist es, bei einer normalen quadratischen Funktion der Form f(x) = ax² + bx + c die binomischen Formeln anwenden zu können. Dafür müssen wir zunächst die quadratische Ergänzung vornehmen. Wir möchten mit der quadratischen Ergänzung erreichen, dass der erste Teil (x² + bx) unserer quadratischen Funktion der binomischen Formel (x² + bx + (b/2)²) entspricht. Dafür benötigen wir noch das (b/2)², welches am Ende der binomischen Formel steht. Deshalb müssen wir quadratisch Ergänzen.
Lösungsschritte Stelle die Gleichung um. $$x^2+2, 4x-0, 25=0$$ $$|+0, 25$$ $$x^2+2, 4x=0, 25$$ Addiere die quadratische Ergänzung. $$x^2+2, 4x+1, 44=0, 25+1, 44$$ Bilde das Binom. $$(x+1, 2)^2=1, 69$$ Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel (mit Fallunterscheidung). Fall: $$x+1, 2=sqrt(1, 69)$$ 2. Fall: $$x+1, 2=-sqrt(1, 69)$$ Lösung 1. Lösung: $$x+1, 2=1, 3 rArr x_1=0, 1$$ 2. Lösung: $$x+1, 2=-1, 3rArrx_2=-2, 5$$ Lösungsmenge: $$L={0, 1; -2, 5}$$ Herleitung quadratische Ergänzung $$a^2+2*a*b+b^2$$$$=(a+b)^2$$ $$x^2+ 2, 4*x+1, 44$$ $$=(? +? )^2$$ Zuordnung $$a^2 =x^2 rArr a=x$$ $$( 2*a*b)/(2*a)=(2, 4*x)/(2*x) rArr b=1, 2$$ quadratische Ergänzung: $$b^2=1, 2^2=1, 44$$ Und nochmal einmal Brüche Beispiel mit gemeinen Brüchen Löse die Gleichung $$x^2+(2)/(3)x-(1)/(3)=0$$. $$x^2+(2)/(3)x-(1)/(3)=0$$ $$|+(1)/3$$ $$x^2+(2)/(3)x=(1)/(3)$$ Addiere die quadratische Ergänzung. $$x^2+(2)/(3)x=(1)/(3)$$ $$|+(1)/(9)$$ $$x^2+(2)/(3)x+(1)/(9)=(1)/(3)+(1)/(9)$$ Bilde das Binom. $$(x+(1)/(3))^2= (4)/(9)$$ Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel (mit Fallunterscheidung).
Wir fügen quasi das (b/2)² an unseren ersten Teil der quadratischen Funktion an. Um die quadratische Funktion nicht zu verändern ziehen wir es hinterher gleich wieder ab. Noch einmal Schritt für Schritt. Wir beginnen mit der allgemeinen quadratischen Funktion Hinter dem bx fügen wir jetzt die quadratische Ergänzung ein. Damit wir anschließend die binomische Formel anwenden können. Wir verändern die Funktion dadurch nicht, da wir nur etwas addieren, was wir hinterher gleich wieder abziehen. Wir erreichen dadurch aber, dass der erste Teil der quadratischen Funktion nun der binomischen Formel entspricht. Und dadurch können wir diesen Teil nun durch die binomische Formel ersetzen: Diese Form erinnert nun schon sehr stark an die Scheitelpunktform. Beispiele findet ihr in den Kapiteln zur Umformung von der Normal- zur Scheitelpunktform und bei der Berechnung der Nullstellen. Unser Lernvideo zu: Quadratische Ergänzung
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Anne (Hanna) ist echt super scharf. Hab mir damals bei jeder Folge BTN einen Runtergeholt wenn sie dabei war. Mein größter Wunsch wäre wenn Anne nur Weiße Halterlose Nahtstrümpfe an hätte & mir meinen Schwanz mit ihren süßen Füßen wichst bis ich abspritze auf ihre Füße. Danach lecke ich ihre geile Möse & sie lutscht meinen Schwanz wieder steif. Wenn er richtig hart ist schiebe ich ihn ihr auf dem Rücken liegend in ihre kleine Möse, ficke sie durch & küsse, lecke & lutsche an ihren süßen Füßen & niedlichen Zehen dabei bis ich ihre Möse besame. Zum Schluss wichst & lutscht Anne nochmal meinen Schwanz & schluckt meine Wichse. Ich habe ganz vergessen, das ich Anne gerne mal ihre wunderschönen Brüste massieren & an ihren süßen Nippelchen saugen möchte, wie ein Baby. Das meine ich als Kompliment, weil Anne wirklich schöne volle Brüste hat & eine echte Traumfrau ist!!! Liebe Anne Wünsche Ich würde Dich, wenn Du meine Freundin oder Frau wärst, wir eine Prinzessin behandeln! Du bist wirklich eine der schönsten Frauen die ich jemals gesehen habe.
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Dein Dich liebender Oliver