Wendepunkt mit Wendetangente Krümmungsverhalten der Funktion sin(2x). Die Tangente ist blau gefärbt in konvexen Bereichen, grün gefärbt in konkaven Bereichen und rot gefärbt bei Wendepunkten. In der Mathematik ist ein Wendepunkt ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert: Der Graph wechselt hier entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt. Dieser Wechsel wird auch Bogenwechsel genannt. Die Ermittlung von Wendepunkten ist Bestandteil einer Kurvendiskussion. Ein Wendepunkt an der Wendestelle liegt vor, wenn die Krümmung des Funktionsgraphen an der Stelle ihr Vorzeichen wechselt. Daraus lassen sich verschiedene hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Wendepunkten ableiten. Ein Kriterium fordert, dass die zweite Ableitung der differenzierbaren Funktion an der Stelle ihr Vorzeichen wechselt. Andere Kriterien fordern nur, dass die zweite Ableitung der Funktion Null ist und dass bestimmte höhere Ableitungen ungleich Null sind. Betrachtet man die zweite Ableitung einer Funktion als "Steigung ihrer Steigung", lassen sich ihre Wendestellen auch als [lokale] Extremstellen, das heißt [lokale] Maxima oder Minima, ihrer Steigung interpretieren.
An einem Wendepunkt ändert der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten.! Merke Notwendiges Kriterium Voraussetzung für das Vorhandensein von Wendepunkten ist, dass die zweite Ableitung an dieser Stelle eine Nullstelle besitzt: $f''(x_W)=0$ Hinreichendes Kriterium Ein Wendepunkt liegt vor, wenn außerdem gilt: $f'''(x_W)\neq0$ i Vorgehensweise Ableitungen bestimmen Nullstelle(n) der zweiten Ableitung berechnen Nullstelle(n) in die dritte Ableitung einsetzen Wendepunkt(e) angeben Beispiel Bestimme die Wendepunkte der Funktion $f(x)=x^3+2x^2-4x-8$. $f'(x)=3x^2+4x-4$ (die erste Ableitung wird nicht gebraucht) $f''(x)=6x+4$ $f'''(x)=6$ Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen $x_W\Leftrightarrow f''(x_W)=0$ $6x+4=0\quad|-4$ $6x=-4\quad|:6$ $x_W=-\frac23$ Nullstellen in die dritte Ableitung einsetzen Die soeben ermittelten Stellen setzen wir in die dritte Ableitung ein. $f'''(-\frac23)=6\neq0$ => an der Stelle $x=-\frac23$ liegt ein Wendepunkt vor Hinweis: Der berechnete Wert war ausschließlich zur Überprüfung und wird nicht mehr gebraucht.
Auch die Wurzelfunktion f(x) = Wurzel (x) hat als Umkehrfunktion der Parabel keinen Wendepunkt. Sog. gebrochen rationale Funktionen der Form f(x) = g(x)/h(x), wobei g(x) und h(x) Polynome sind, müssen Sie mit der zweiten Ableitung auf Wendepunkte untersuchen. Allgemeine Regeln, wie viele Wendepunkte hier vorliegen, gibt es nicht. Seien Sie auch vorsichtig bei zusammengesetzten Funktionen wie zum Beispiel f(x) = -x² * e x oder f(x) = ln x/(x-1). Auch diese müssen mithilfe der zweiten Ableitung untersucht werden. Wie hilfreich finden Sie diesen Artikel? Verwandte Artikel Redaktionstipp: Hilfreiche Videos 2:25 3:49 Wohlfühlen in der Schule Fachgebiete im Überblick
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