Des Weiteren lässt sich mit dem Satz von Cantor die zweite Cantorsche Antinomie zeigen. Diese besagt, dass die Allklasse keine Menge ist, sondern eine echte Klasse. Denn nach Definition wäre die Potenzmenge der Allklasse eine Teilmenge derselben, was dem Satz von Cantor widerspricht. Quellen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer, Berlin Heidelberg 2004, 2. Auflage. ISBN 978-3-540-20401-5.
23. 08. 2011, 12:32 Lokod Auf diesen Beitrag antworten » Satz von Cantor (Potenzmenge) Meine Frage: Für alle X, |X| < |P(X)|. Es wird dabei mit der Menge Y argumentiert, die alle Elemente aus X enthält, die nicht in f(x) liegen. Danach wird daraus, dass diese Menge nicht im Bild von f liegt, ein Widerspruch erzeugt. Wieso muss Y notwendig eine Teilmenge von P(X) sein? Bzw. wie ist die Existenz von Y gerechtfertigt? Meine Ideen: Eigentlich komm ich mit den ganzen Beweisen in der Mengenlehre ganz gut zu Recht, aber der sagt mir nicht sehr viel. 23. 2011, 14:44 Grouser Mit deiner "Erklärung" des Beweises kann ich nichts anfangen. Wir wissen nicht von welcher Abbildung du redest und somit auch nicht wie Y aussieht. Wo der Widerspruch gebildet wird, erwähnst du auch nicht. Wenn wir dir einen Beweis erklären sollen, wirst du uns den Beweis zur Verfügung stellen müssen.
Neu!! : Satz von Cantor und Felix Hausdorff · Mehr sehen » Georg Cantor Georg Cantor (ca. 1894) Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (* in Sankt Petersburg; † 6. Januar 1918 in Halle an der Saale) war ein deutscher Mathematiker. Neu!! : Satz von Cantor und Georg Cantor · Mehr sehen » Grundzüge der Mengenlehre Grundzüge der Mengenlehre ist ein einflussreiches und oft zitiertes Buch der Mengenlehre und das Magnum opus von Felix Hausdorff. Neu!! : Satz von Cantor und Grundzüge der Mengenlehre · Mehr sehen » Injektive Funktion Illustration einer '''Injektion. '''Jedes Element von Y hat höchstens ein Urbild: A, B, D je eines, C keines. Injektivität oder Linkseindeutigkeit ist eine Eigenschaft einer mathematischen Relation, also insbesondere auch einer Funktion (wofür man meist gleichwertig auch "Abbildung" sagt): Eine injektive Funktion, auch als Injektion bezeichnet, ist ein Spezialfall einer linkseindeutigen Relation. Neu!! : Satz von Cantor und Injektive Funktion · Mehr sehen » Klasse (Mengenlehre) Als Klasse gilt in der Mathematik, Klassenlogik und Mengenlehre eine Zusammenfassung beliebiger Objekte, definiert durch eine logische Eigenschaft, die alle Objekte der Klasse erfüllen.
Oder x_B ~:elem: B. Dann muss x_B also zu den (zugeordneten bzw. zuordbaren) x in X iSv 2. gehören, was aber nicht sein kann, denn die sind ja schon "verbraten". Also muss x_B doch zu B gehören und es kommt wieder zu o. g. Widerspruch. Es gibt noch einen weiteren Widerspruch, denn wenn x_B ~:elem: B, dann widerspricht das ja sowieso schon der Bijektionsannahme von oben. Dadurch wird klar: Es kann kein x_B geben und dadurch bleibt B von P(X) unzugeordnet und damit P(X) > X. Ist das so in etwa korrekt wiedergegeben? Meinen Beweis finde ich übrigens irgendwie einleuchtender, Cantor geht mE einen unnötig komplizierten Weg.
d ist in jedem x ∈ M verschieden von f (x), d. h. es gilt f (x)(x) ≠ d(x). f (x)(x) ist der Wert der 0-1-Folge f (x) an der Stelle x, d. h. der Wert der Waagrechten f (x) an ihrem Schnittpunkt mit d. d ist dort gerade verschieden von diesem Wert, also ist d sicher nicht gleich f (x). Und dies gilt für alle x ∈ M. Übung Sei M = { 0, 1, 2, 3}. Bestimmen Sie D ⊆ M wie im obigem Beweis für die Funktion f: M → ℘ (M) mit f (0) = { 1, 3}, f (1) = { 0, 2}, f (2) = { 1, 2}, f (3) = { 0, 1, 2}. Zeichnen Sie zudem obiges Diagramm für diese Situation mit 0-1-Folgen für f (x) und bestimmen Sie d. Durch iterierte Anwendung der Potenzmengenoperation können wir nun, ausgehend von einer beliebigen Menge, Mengen mit immer größerer Mächtigkeit erzeugen: Sei M eine Menge. Wir definieren ℘ n (M) für n ∈ ℕ rekursiv durch ℘ 0 (M) = M, ℘ n + 1 (M) = ℘ ( ℘ n (M)) für n ∈ ℕ. Dann gilt | ℘ n (M)| < | ℘ n + 1 (M)| für alle n ∈ ℕ. Sei weiter M* = ⋃ n ∈ ℕ ℘ n (M). Dann gilt | ℘ n (M)| < | ℘ n + 1 (M)| ≤ |M*| für alle n ∈ ℕ.
Cantors Beweis, dass einige unendliche Mengen größer sind als andere — zum Beispiel sind die reellen Zahlen größer als die ganzen Zahlen — war jedoch überraschend und stieß zunächst auf großen Widerstand einiger Mathematiker, insbesondere des deutschen Leopold Kronecker. Darüber hinaus führte Cantors Beweis, dass die Potenzmenge einer Menge, einschließlich einer unendlichen Menge, immer größer ist als die ursprüngliche Menge, dazu, dass er eine immer größere Hierarchie von Kardinalzahlen, ℵ0, ℵ1, ℵ2 …, schuf, die als transfinite Zahlen bekannt sind. Cantor schlug vor, dass es keine transfinite Zahl zwischen der ersten transfinite Zahl ℵ0 oder der Kardinalität der ganzen Zahlen und dem Kontinuum (c) oder der Kardinalität der reellen Zahlen gibt; mit anderen Worten, c = ℵ1. Dies ist jetzt als Kontinuumshypothese bekannt und hat sich in der Standardmengenlehre als unentscheidbarer Satz erwiesen.
Hallo Community, Kann mir jemand diesen Satz verdeutlichen: Betrag (X) < Betrag P(X) um dies zu erfüllen muss gelte: Injektive Abbildung muss möglich sein, was logisch ist. Jedoch was ich nicht verstehe ist, wie man den 2. Punkt beweisen kann, das keine Bijektion möglich sein kann und somit keine surjektion sein kann. :_Mengenlehre:_M%C3%A4chtigkeiten_%28Kardinalzahlen%29:_Potenzmenge Hier ist es erklärt, jedoch versteh ich nicht ganz was hier genau gemacht wird. Das man versucht einen Widerspruch zu generieren ist mir klar, jedoch das a kein element von f(a) versteh ich nicht. Danke für die Hilfe. Topnutzer im Thema Mathematik Seien A, B Mengen. Definition 0. |A| ≤ |B| bezeichnet, dass es eine Injektion gibt A —> B. Definition 1. |A| = |B| bezeichnet, dass es eine Bijektion gibt A —> B. Definition 2. |A| < |B| bezeichnet, dass |A| ≤ |B| und NICHT |B| ≤ |A|. Lemma 3 (Cantor-Bendixson). Dann |A|=|B| <==> |A|≤|B| & |B|≤|A|. Folgerung 4. |A|<|B| <==> |A|≤|B| & |A|≠|B| (äquivalent: |A|≤|B| und es gibt keine Surjektion A—>B).
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