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Dieser Abschnitt ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib der Autorin oder dem Autor Zeit, den Inhalt anzupassen! Definition der Exponentialfunktion [ Bearbeiten] In den folgenden Abschnitten werden wir die Exponentialfunktion definieren. Es gibt zwei Möglichkeiten, diese zu definieren. Wir werden beide Ansätze vorstellen. Ableitung der e funktion beweis en. Anschließend zeigen wir, dass beide Definitionen äquivalent sind. Reihendarstellung [ Bearbeiten] Angenommen, wir suchen eine differenzierbare Funktion, für die gilt für alle. Das ist eine Frage, die nicht nur einen Mathematiker interessiert. Beispielsweise sucht ein Biologe eine Funktion, die die Anzahl der Bakterien in einer Bakterienkultur beschreibt. Dabei weiß er, dass das Wachstum dieser Bakterienkultur proportional zur Anzahl der Bakterien ist. Zur Vereinfachung hat er diesen Proportionalitätsfaktor auf gesetzt. Es bietet sich sofort eine einfache Möglichkeit an: für alle. Das ist erstens eine ziemlich langweilige Funktion und zweitens löst sie das Problem des Biologen auch nicht, denn in seiner Bakterienkultur sind ja mehr als Bakterien.
Beweis Es gilt exp(0) = 1 und gliedweises Differenzieren zeigt, dass exp′ = exp gilt. Zum Beweis der Eindeutigkeit sei f: ℝ → ℝ eine Funktion mit f ′ = f und f (0) = 1. Da exp(x) > 0 für alle x ∈ ℝ gilt, ist f/exp auf ganz ℝ definiert. Nach der Quotientenregel gilt ( f exp) ′(x) = exp(x) f ′(x) − f (x) exp′(x) exp(x) 2 = exp(x) f (x) − f (x) exp(x) exp(x) 2 = 0. Beweis dass 1. Ableitung der e- Funktion = e- Funktion ist - OnlineMathe - das mathe-forum. Da genau die konstanten Funktionen die Ableitung 0 besitzen (anschaulich klar, aber nicht leicht zu beweisen), gibt es ein c ∈ ℝ mit f (x)/exp(x) = c für alle x ∈ ℝ. Wegen f (0) = 1 = exp(0) ist c = 1, sodass f (x) = exp(x) für alle x ∈ ℝ. Sowohl die Existenz als auch die Eindeutigkeit einer Funktion f: ℝ → ℝ mit f ′ = f und f (0) = 1 lässt sich durch ein Diagramm veranschaulichen: Die Differentialgleichung f ′ = f wird durch ihr Richtungsfeld visualisiert: An jeden Punkt (x, y) der Ebene heften wir den Vektor der Länge 1 an, dessen Steigung gleich y ist (im Diagramm sind die Pfeile mittig angeheftet). Jede differenzierbare Funktion, die den Pfeilen folgt, erfüllt f ′ = f. Eindeutigkeit wird durch Vorgabe eines Anfangswerts erreicht.
Damit haben wir das fehlende Glied in unserem Beweis: Es gilt c = 1, daher 1. Nachbemerkung: Formel ( 21) offenbart die wahre Bedeutung der Zahl e. Gauss Verfahren /Homogene LGS? (Computer, Schule, Mathe). Unter allen Funktionen x ® a x mit beliebigen reellen Basen a ist die einzige, die mit ihrer Ableitung identisch ist! Wir können diese bemerkenswerte Eigenschaft auch so formulieren: Es gibt nur eine einzige auf der Menge der reellen Zahlen definierte differenzierbare Funktion f, für die die beiden Aussagen f '( x) = f ( x) für alle reellen x f (0) = 1 zutreffen, und zwar f ( x) = e x. Die Zahl e kann dann als f (1) definiert werden. Von diesem Standpunkt aus betrachtet, erscheint die Eulersche Zahl als ein sehr "natürliches" mathematisches Objekt.
Für den Anfangswert f (0) = 1 erhalten wir die Exponentialfunktion zur Basis e. Allgemein ergibt sich die Funktion c exp für den Anfangswert f (0) = c. Keine andere Basis ist geeignet (vgl. die Berechnung der Ableitung von exp a unten)! Gompertz-Funktion – Wikipedia. Gewinnung des Additionstheorems Aus dem Charakterisierungssatz lässt sich das Additionstheorem herleiten. Sei hierzu y ∈ ℝ beliebig. Wir definieren f: ℝ → ℝ durch f (x) = exp(x + y) exp(y) für alle x ∈ ℝ. Dann gilt f ′(x) = f (x) und f (0) = exp (0 + y) /exp(y) = 1. Folglich ist f = exp und damit exp (x + y) = f (x) exp(y) = exp(x) exp(y) für alle x ∈ ℝ.