Ich habe Probleme mit meine Mathe Hausaufgabe!! D: Warum ist eine Exponentialfunktion durch zwei Punkte eindeutig bestimmt? ich brauche es für Montag den 29. 02. 2016!! Community-Experte Mathematik, Mathe Weil die Anzahl der Punkte der Anzahl der unbekannten Parametern entspricht. y = f(x) = a * q ^ (x / b) Das entspricht der Form --> y = f(x) = a * e ^ (x * ln(q) / b) Also a * q ^ (x / b) = a * e ^ (x * ln(q) / b) Weil ln(q) / b kann man durch einen anderen Parameter ersetzen --> c = ln(q) / b y = f(x) = a * e ^ (c * x) Egal welche Form du verwendest, es sind 2 unbekannte Parameter, und deshalb brauchst du 2 vollständig bekannte Punkte, um eine Chance zu haben sie bestimmen zu können. Die Parameter kannst du im übrigen nennen wie du willst, das mal als Zusatzinfo. Eine Exponentialfunktion hat die allgemeine Form f(x) = a • e^(b • x) Wenn du jeden gegebenen Punkt in diese Form einsetzt, hast du bei 2 Punkten 2 Gleichungen, die jeweils die 2 Unbekannten a und b enthalten. Exponentialfunktion aufstellen mit 2 punkten de. Und ein solches Gleichungssystem ist eindeutig lösbar (2 Gleichungen für 2 Unbekannte)
AHS Kompetenzen FA 1. 7 Funktionen modellieren FA 5. 2 Wertepaare von Exponentialfunktionen ermitteln BHS Kompetenzen Teil A 3. 5 Exponentialfunktionen AHS FA5 Exponentialfunktion BHS Funktionale Zusammenhänge (Teil A)
In deinem Beispiel wären die beiden Gleichungen: (1) a · b -12 = 3 (2) a · b 2 = 18 Um dieses Gleichungssystem aufzulösen, könnte man in einem ersten Schritt etwa mal den Quotienten betrachten (zweite durch erste Gleichung): 18 / 3 = (a · b 2) / (a · b -12) =...... rumar 2, 8 k 18 / 3 = (a · b 2) / (a · b -12) Division durchführen und kürzen: 6 = b 14 b = \( \sqrt[14]{6} \) = 6 (1/14) ≈ 1. 136 a = 3 · b 12 ≈ 13. 935
Aufgabe Neue Aufgabe Gegeben seien die Punkte $P_1(\, -1{, }5 \mid 1{, }5 \, )$ und $P_2(\, 4{, }5 \mid 2{, }5 \, )$. Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion durch $P_1$ und $P_2$. Zeichne den Graphen. Allgemeiner Ansatz, Einsetzen der Punkte: Anzeigen \[\begin{array}{rrcl} & y & = & c \cdot a^x \\[2mm] P_1:\; & 1{, }5 & = & c\cdot a^{ (-1{, }5)} \\[1mm] P_2:\; & 2{, }5 & = & c\cdot a^{ 4{, }5} \\[1mm] \end{array}\] Lösung des Gleichungssystems (Divisionsverfahren): Anzeigen \[\begin{array}{rrcrcll} I:\; & 1{, }5 & = & c &\cdot& a^{ -1{, }5} & \\ II:\; & 2{, }5 & = & c &\cdot& a^{ 4{, }5} & \\ \hline II:I:\; & 1{, }66 & = & 1 &\cdot& a^{ 6} & \quad 6 = 4{, }5 - (-1{, }5) \[\begin{array}{rcll} a^{ 6} & = & 1{, }66 & \quad\mid\;\;\sqrt[ 6]{\Rule{0pt}{1ex}{0pt}\quad} \\[. Exponentialfunktion aufstellen mit 2 punkten en. 5mm] a & \approx & \underline{ 1{, }08} & \\[. 5mm] [\dots]\quad c & \approx & \underline{ 1{, }7} & \\[3mm] f(x) & = & 1{, }7 \cdot 1{, }08 ^{x} & \\ \hline Graph: Anzeigen Datenschutzhinweis: Diese Seiten verarbeiten - abgesehenen von allgemeinen Logdaten des Webservers - keinerlei personenbezogenen Daten ihrer Nutzer.
Übersicht Basiswissen Exponentialfunktionen gibt es in verschiedenen Varianten. Jede Variante hat einen eigenen Lösungsweg. Diese sind hier kurz angedeutet. Grundlegende Lösungsidee Man setzt beide Punkte in den Grundbauplan der gesuchten Funktionsgleichung ein. Dadurch entstehen zwei Gleichungen mit Unbekannten, also ein lineares Gleichungssystem. Dieses löst man. Erweiterte Exponentialfunktion ◦ f(x) = a·c^x ◦ Gegeben (1|2) und (4|0, 25) ◦ Es gibt zwei Unbekannte: a und c ◦ Beide Punkte einsetzen und dann LGS lösen. ◦ Ausführliche Erklärung steht auf der Seite: ◦ => Erweiterte Exponentialfunktion aus zwei Punkten Einfache Exponentialfunktion ◦ f(x) = a^x ◦ Gegeben: (3|8) und (5|32) ◦ Es gibt nur eine Unbekannte: a ◦ Man bestimmt a mit einem der zwei Punkte. Exponentialfunktion aus 2 Punkten bestimmen - Mathe xy. ◦ Mit dem anderen Punkte macht man dann eine Probe. ◦ Ersten Punkte einsetzen: ◦ 8 = a^3 | dritte Wurzel ◦ Mögliche Lösung: f(x) = 2^x ◦ 2 = a | Probe mit zweitem Punkt: ◦ 32 = 2^5, also: ◦ f(x) = 2^x ✔ Einfache e-Funktion ◦ f(x) = e^x ◦ Es gibt keine Unbekannte.
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