Eine Zufallsvariable entsteht nicht zufällig Lass dich von dem Wort Zufallsvariable nicht verwirren! Eine Zufallsvariable $X$ ist keine Zahl, die in einem Zufallsexperiment zufällig herauskommt, sondern eine Funktion, die jedem zufällig entstehenden Ergebnis $\omega$ einen ganz genau bestimmten Zahlenwert $x$ zuordnet: $X\colon \omega \to x$. Diskret oder stetig? Stetige Zufallsvariable bzw. Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsdichte. Man kann zwischen diskreten Zufallsvariablen und stetigen Zufallsvariablen unterscheiden. Der Einfachheit halber beschränken wir uns im Folgenden auf diskrete Zufallsvariablen. Funktion vs. Zufallsvariable Im vorherigen Abschnitt haben wir gesehen, dass eine Zufallsvariable nichts anderes ist als eine Funktion mit bestimmten Eigenschaften.
Dabei wird angenommen, daß es sich um ideale Würfel handelt. Die Augenzahl der beiden Würfel wird addiert. Bestimmen Sie dazu die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x j) der Zufallsvariable "Augensumme zweier Würfel "! Schritt 1 Dazu müssen zunächst Art und Größe des Ereignisraumes bestimmt werden. Der Ereignisraum ergibt sich als Schritt 2 Vorbemerkung: Da die Schritte 2 -4 sehr aufwändig zu bearbeiten sind, kann auch auf die Lösung der Aufgabenstellung zu Aufgabe 11 im Link am Endes des Moduls zurückgegriffen werden. Diskrete zufallsvariable aufgaben von orphanet deutschland. Nehmen Sie nun die Zuordnung der Elementarereignisse zu den Ausprägungen der Zufallsvariablen vor und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion. Benutzen Sie das Programm Webstat (im Tool-Bereich), um diese Wahrscheinlichkeitsfunktion grafisch darzustellen Schritt 3 Berechnen Sie nun den Erwartungswert E(X) sowie die Varianz VAR(X) der Zufallsvariable: Schritt 4 Berechnen und zeichnen Sie die Verteilungsfunktion F(x j) der Zufallsvariable. Schritt 5 Denken Sie über die folgende Frage nach: Welche Möglichkeiten hätten Sie, die Wahrscheinlichkeitsfunktion zu bestimmen, wenn sie nicht von der Annahme idealer Würfel ausgehen könnten, d. h. die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für das Fallen bestimmter Augenzahlen nicht bekannt wäre (tatsächlich erfüllt kaum ein Würfel diese Voraussetzungen).
b) Weitere Aufgaben zu diskreten Verteilungen Im Folgenden haben Sie die Möglichkeit, verteilungstheoretischen Fragestellungen anhand von vorgegebenen Aufgabenstellungen und bereitgestellten Musterlösungen nachzugehen. Dazu finden Sie am Ende dieser Seite einen Link auf die Musterlösungen zu diesen Aufgaben. Aufgabe (11) Erläutern Sie am Beispiel der Augensumme beim Würfeln mit zwei Würfeln die Begriffe Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion. Stellen Sie beide Funktionen tabellarisch und graphisch dar. Aufgaben über Zufallsvariable, Diskrete und Kontinuierliche Verteilungen | SpringerLink. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz für die Augenzahl. Wie hoch musste der Einsatz mindestens sein, wenn in einem Spiel der Spielleiter die Augensumme als Gewinn auszahlt, damit die Bank im Durchschnitt keinen Verlust macht? Aufgabe (12) Eine Zufallsvariable X besitze die folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion: x 8 12 16 20 24 f(x) 1/8 1/6 3/8 1/4 1/12 Bestimmen Sie und zeichnen Sie die zugehörige Verteilungsfunktion. Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) und die Varianz VAR(X) Aufgabe (13) Eine Lebensversicherung über 60.
Merkregel: "Was passiert" mal "mit welcher Wahrscheinlichkeit passiert es". \(E\left( X \right) = \mu = {x_1} \cdot P\left( {X = {x_1}} \right) + {x_2} \cdot P\left( {X = {x_2}} \right) +... + {x_n} \cdot P\left( {X = {x_n}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i} \cdot P\left( {X = {x_i}} \right)} \) Der Erwartungswert ist ein Maß für die mittlere Lage der Verteilung, und somit ein Lageparameter der beschreibenden Statistik. Ist die Wahrscheinlichkeit für jeden Versuch die selbe (z. B. bei binomialverteilten Experimenten), dann ist der Erwartungswert gleich dem arithmetischen Mittel. Ist die Wahrscheinlichkeit für jeden Versuch unterschiedlich, dann ist der Erwartungswert gemäß obiger Formel ein gewichtetes arithmetisches Mittel. Physikalische Analogie Physikalisch entspricht der Erwartungswert dem Schwerpunkt. Diskrete zufallsvariable aufgaben zum abhaken. Man muss sich dabei die Massen R(X=x i) an den Positionen x i entlang vom Zahlenstrahl x plaziert vorstellen. Physikalisch entspricht die Varianz dem Trägheitsmoment, wenn man den oben beschriebenen Zahlenstrahl um eine Achse dreht, die senkrecht auf den Zahlenstrahl steht und die durch den Schwerpunkt verläuft.
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