Nun muss nur noch die Funktion abgeleitet werden und man hätte die Substitutionsgleichung einmal von rechts nach links angewandt:. Allerdings lässt sich diese Methode noch verkürzen. Man muss die Funktion gar nicht explizit bestimmen. Man kann einfach die Gleichung in der Funktion einsetzen und erhält automatisch. Ebenso kann man einfach den Ausdruck nach ableiten und nach umstellen. Diesen Ausdruck kann man nun ebenso wie im Integral einsetzen:. Integration durch Substitution Aufgaben im Video zur Stelle im Video springen (02:43) Bei der eben beschriebenen Methode der Integration durch Substitution rechnet man die Substitutionsgleichung im Grunde von rechts nach links durch. Diese Methode wollen wir nun an einer Beispielaufgabe noch einmal demonstrieren. Allerdings wollen wir auch zeigen, wie man die Aufgabe mittels der Substitutionsgleichung von links nach rechts lösen kann, indem man die Struktur des Integranden genauer betrachtet. Diese zweite Methode demonstrieren wir dann nochmal in einem extra Beispiel.
Unser Integrand lautet folgendermaßen:. Wenn wir die Funktion als äußere Funktion betrachten, muss die innere Funktion lauten. Ihre Ableitung lautet. Insgesamt haben wir also. Das entspricht fast dem Integranden unseres Integrals, lediglich noch mit dem Faktor 2 multipliziert. Aber diesen Faktor können wir eliminieren, indem wir mit multiplizieren. Es gilt also: Wenn wir nun unsere Variable in umbenennen, erhalten wir genau die linke Seite der Substitutionsgleichung und können sie mit der rechten Seite gleichsetzen:. Setzen wir nun und ein, erhalten wir das vereinfachte Integral:. Integration durch Substitution Beispiel 2 Im zweiten Beispiel wollen wir das folgende Integral betrachten:. Hier erkennt man, dass der Integrand aus der äußeren Funktion mit der inneren Funktion besteht, welche mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert wird. Der Integrand weißt also genau die Struktur der linken Seite der Substitutionsgleichung auf:. Mithilfe der Substitutionsregel erhalten wir also folgende Lösung:.
Hast du gerade das Thema Integration durch Substitution in Mathe, aber weißt nicht genau wie es geht? Dann bist du hier genau richtig: In diesem Artikel wollen wir dir erklären, wie die Substitutionsregel funktioniert. :) Das Thema kann dem Fach Mathematik und genauer dem Unterthema Integralrechnung zugeordnet werden. Wann wird die Substitutionsregel angewendet? Wenn du eine verkettete Funktion ableitest, benutzt du die Kettenregel. Was beim Ableiten die Kettenregel ist, nennt man beim Integrieren (Aufleiten) die Substitutionsregel. Die lautet wie folgt: Am besten merkst du dir, dass die Integration durch Substitution immer dann angewendet wird, wenn beim Ableiten die Kettenregel angewendet werden würde. Dies ist bei ineinander verschachtelten (verketteten) Funktionen der Fall. Gut zu wissen! φ = kleines Phi (griechisches Alphabet) Wie integriere ich durch Substitution? Folgende Schritte solltest du befolgen, wenn du durch Substitution integrieren möchtest: Bereite die Substitution vor 1.
1a Analysis, Integralrechnung Bestimmtes Integral, Substitutionsregel Ergebnis anzeigen Lsungsweg anzeigen bungsaufgabe Nr. 1b Analysis, Integralrechnung Bestimmtes Integral, Substitutionsregel Ergebnis anzeigen Lsungsweg anzeigen bungsaufgabe Nr. : 0021-2. 3a Analysis, Integralrechnung Substitutionsregel, Unbestimmtes Integral Ergebnis anzeigen Lsungsweg anzeigen bungsaufgabe Nr. : 0022-2. 2 Analysis, Integralrechnung Substitutionsregel, Unbestimmtes Integral Ergebnis anzeigen Lsungsweg anzeigen bungsaufgabe Nr. : 0023-2. : 0024-3.
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