Zufallsgrößen werden meist mit X, Y oder Z bezeichnet. Die Zuordnung der Werte der Zufallsgrößen zu ihren Wahrscheinlichkeiten wird Wahrscheinlichkeitsverteilung genannt. Faires Spiel in Mathematik | Schülerlexikon | Lernhelfer. Der Erwartungswert E(X) der Zufallsgröße X ist der Wert, der bei der mehrfachen Durchführung eines Zufallsexperiments im Durchschnit zu erwarten ist. Die Berechnung erfolgt durch Multiplikation der Werte der Zufallsgröße mit ihren Wahrscheinlichkeiten und der anschließenden Addition der Ergebnisse. In unserem Beispiel ist der Erwartungswert, also der durchschnittliche Gewinn pro Spiel 8 Cent für Tom. Zufallsgröße: X: Gewinn oder Verlust pro Spiel (in Cent) Wahrscheinlichkeitsverteilung von X: Wert von X (in Cent) 50 -20 p(X) 0, 4 0, 6 Erwartungswert von X: E(X) = 50 $$*$$ 0, 4 + (-20) $$*$$ 0, 6 = 8 Abzocke am Spielautomat Ein Spielautomatenbesitzer wirbt bei einem Einsatz von 1 € pro Spiel mit nachfolgendem Gewinnplan. Mathematisch ist das die Wahrscheinlichkeitsverteilung: Gewinn in € 0 0, 10 0, 30 1, 50 Wahrscheinlichkeit 0, 3 0, 4 0, 2 0, 1 Was meinst du?
Mithilfe des Erwartungswertes der Zufallsgröße Gewinn lassen sich Spiele beurteilen. Im einfachsten Fall des Partnerspiels erwarten wir, dass im Mittel genauso viele Male gewonnen wie verloren wird, das Spiel also fair ist. Stochastik fairies spiel free. Was hierbei der eine Spieler gewinnt, erhält er vom anderen (verliert der andere). Bezeichnen wir also den des ersten Spielers mit G, so ist − G Gewinn des anderen, wobei Gewinn dann der Erwartungswert von − G gleich − E ( G) ist. Für ein faires Spiel muss demzufolge gelten, dass E ( G) = − E ( G) ist, was nur für E ( G) = 0 möglich ist. Wir nennen ein (Partner-)Spiel fair, wenn für den (Rein-)Gewinn eines Spielers gilt: E ( G) = 0 Obige Bedingung bedeutet natürlich nicht, dass man bei fairen Spielen nicht gewinnen oder verloren kann; mit ihrer Hilfe kann man jedoch den fairen Einsatz bestimmen. Wird mit einem Einsatz von e gespielt, so muss für den Erwartungswert des (Brutto-)Gewinnes G B gelten: E ( G B) = e Bei vielen Glücksspielen (Tombolas, Lotterien) tritt an die Stelle des zweiten Spielers die Bank.
Rechne das aus und du kommst auch auf die 0, 864.
Ist das ein faires Spiel? Berechne dazu den Erwartungswert: Zufallsgröße X: Gewinn bzw. Verlust pro Spiel Erwartungswert von X: E(X) = 0 $$*$$ 0, 3 + 0, 10 $$*$$ 0, 4 + 0, 30 $$*$$ 0, 2 + 1, 50 $$*$$ 0, 1 = 0, 25 Bei dem Einsatz von 1 € pro Spiel ist der Erwartungswert, also der durchschnittliche Gewinn 25 Cent. Der Besitzer gewinnt damit pro Spiel etwa 75 Cent. Ein solches Spiel ist nicht fair, es ist reine Abzocke - hüte dich vor solchen Spielautomaten. kann mehr: interaktive Übungen und Tests individueller Klassenarbeitstrainer Lernmanager Jedes Los gewinnt! Auf einer Wohltätigkeitsveranstaltung, an der 100 Personen teilnehmen, kauft jeder Teilnehmer ein Los. Stochastik faires spielautomaten. Der erste Preis beträgt 200 €, der zweite Preis 100 € und der dritte Preis 50 €. Die restlichen Preise betragen 1 €. Berechne den Erwartungswert. Zufallsgröße X: Gewinn Wahrscheinlichkeitsverteilung: Zufallsgröße X 200 100 50 1 p(X) $$1/100$$ $$1/100$$ $$1/100$$ $$97/100$$ Erwartungswert: $$E(X) = 200 * 1/100 + 100 * 1/100 + 50 * 1/100 + 1 * 97/100 = 4, 47$$ Der durchschnittliche Gewinn beträgt pro Los 4, 47 €.
Das Spiel ist doch unvollständig. Ich kann den Einsatz verdoppeln oder die Risikovariante wählen? Was passiert denn wenn ich den Einsatz verdoppel? Kann ich eh nur bei der Risikovariante gewinnen? Beantwortet Der_Mathecoach 416 k 🚀 Du meinst der doppelte Einsatz wird ausgezahlt und dann hat man 5 Euro gewonnen. Sichere Variante E(G) = -5 + 2/6 * 10 = -1. 667 Das wäre nicht fair Risiko-Variante E(G) = - 5 + 1/36 * 100 = -2. 222 Das ist auch nicht fair. Eine gemischte Variante kann daher ebensowenig fair sein. Ich hatte mich oben noch vertan. sorry. Ich war vorhin nicht ganz konzentriert weil ich schnell weg musste. Du zahlst die 5 Euro Einsatz zu 100%. Damit kann ich die Immer abziehen. Gegenrechnen tue ich dann die Auszahlung mit der Wahrscheinlichkeit der Auszahlung. Faires Spiel, Zufallsgröße, Erwartungswert, Stochastik | Mathe by Daniel Jung - YouTube. Im Grunde verrechne ich so den Erwartungswert der Auszahlung minus dem Erwartungswert der Einzahlung. Das ist etwas einfacher als wenn man direkt den Erwartungswert des Gewinns berechnet, denn mit 100 und 10 multipliziert es sich besser als mit 95 und 5.
Für ein faires Spiel muss der Gewinn 0 sein. Daher kommt die Formel. Du hast ja in a) \( E(X) = 2 \cdot \frac{75}{216} + 3 \cdot \frac{15}{216} + 4 \cdot \frac{1}{216} + 0 \cdot \frac{125}{216}\) (fast) korrekt berechnet mit E(X) = 0, 92. Und somit einem Gewinn von -0, 08 Jetzt suchst du den korrigierten Einsatz, damit das Spiel fair ist, also der Gewinn 0 beträgt. Mit den Faktoren 1, 2, 3, -1 könnte man gleich den zu erwartenden Gewinn ausrechnen. Oder halt vom Gewinn = Erwartungswert - Einsatz rechnen. Normalerweise kannst du den Einsatz einfach so ändern, wie du beschrieben hast, damit das Spiel fair ist. Hier ist nun aber etwas wesentlich anders, der Spieler erhält seinen Einsatz + 1 Euro (2 Euro, 3 Euro), deshalb musst du den Einsatz auch hier mit einbeziehen. Stochastik fairies spiel full. \( E(X) = (x+1) \cdot \frac{75}{216} + (x+2) \cdot \frac{15}{216} + (x+3) \cdot \frac{1}{216} - 0 \cdot \frac{125}{216}\). Da beim fairen Spiel der Erwartungswert gleich dem Einsatz sein soll, musst du diese Gleichung nun gleich x setzen.
Der Spielleiter behauptet, das Spiel sei "fair". Das heißt, dass ein Spieler auf lange Sicht weder Gewinn noch Verlust macht. Untersuchen Sie, ob es sich wirklich um ein faires Spiel handelt.
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